Analytical and numerical solutions of viscoplastic flows with wall slip

Abstract

Viscoplastic flows, i.e., flows of yield-stress materials are encountered in many processes of industrial interest. These materials include food products, drilling fluids, cosmetics products, pastes, biological and geophysical fluids. Ideal viscoplastic materials behave as rigid (inelastic) solids whenthe applied stress is below a threshold value, the yield-stress, and as fluids above this critical value. Viscoplastic materials are also known to exhibit wall slip, usually when the wall shear stress surpasses a second critical value, referred to as the slip yield-stress. A consequence of these critical stresses is the appearance of different flow regimes in viscoplastic flows in the presence of wall slip, in which the material may be unyielded or yielded and may stick or slip at a wall. The main objective of this thesis is to provide analytical, semi-analytical, perturbation and numerical solutions for basic Newtonian and viscoplastic flows with and without wall slip, such as Poiseuille flows in channels, pipes and annular tubes, and the torsional parallel plate flow.We first derive semi-analytical solutions of the annular Poiseuille and torsional parallel plate flows of Bingham and Herschel-Bulkley fluids, respectively, in the presence of wall slip. When different Navier-slip laws (zero slip yield-stress) are employed at the two walls in the annularPoiseuille case, three flow regimes are identified: a sliding (no yielding) regime below a critical pressure gradient, followed by an intermediate semi-sliding (partially yielded) regime up to a second critical value, above which the material is fully yielded. When slip yield-stress is non-zero, a no-flowregime is observed below a critical pressure gradient, succeeded by sliding and yielding regimes. The critical pressure gradient values defining these flow regimes are determined, and closed-form solutions for the velocity and the shear stress are provided for all cases. The various flow regimesappearing in the case of torsional parallel flow of Herschel-Bulkley fluids with wall slip with nonzero slip yield-stress are then identified and investigated. When the rim shear stress, is below the slip yield-stress, the exerted torque is not sufficient to rotate the disk. When rim shear stress is greater than the slip yield stress but below the yiled stress of the fluid, the material is still unyielded but exhibits wall slip and rotates as a solid at half the angular velocity of the rotating disk. Finally, when the rim shear stress is greater than the yield stress of the fluid, the material exhibits slip everywhere and yields only in the annulus ry <= r <= R, where ry is the critical radius at which the shear stress is equal to the yield-stress and R is the radius of the disk. The computed apparent flow curves reproduce the patterns observed in experiments on certain colloidal suspensions. Thus, the obtained solutions can be used for the rheological characterization of these materials and the determination of the slip parameters.The effects of the pressure-dependence of wall slip in annular Poiseuille flow are studied next considering a Newtonian fluid and a slip equation with pressure-dependent coefficients. An approximate solution is derived up to second order by using a regular perturbation method schemein terms of the small dimensionless pressure-dependent slip parameter. An explicit formula for the average pressure drop required to sustain a constant volumetric flow rate is also obtained and post-processed by using a convergence acceleration technique to enhance the accuracy of the original perturbation series. All phenomena associated with pressure-dependent wall slip are amplified as the radius ratio is increased.The second part of the thesis is devoted to the investigation of the flow development of Bingham and Newtonian fluids, first in channels and pipes without wall slip, and then in annular tubes with and without wall slip. We utilize the Papanastasiou-regularized Bingham model and finite element simulations to systematically obtain results for wide ranges of Reynolds, Bingham and slip numbers. The numerical simulations are carried out by means of the open-source finite element software FEniCS while a homemade code is also employed for comparison and validation reasons. We explore alternative definitions of the development length including a definition based on wall shear stress. In the case of channels and pipes, we evaluate alternative Reynolds number definitions to unify the development length curves into a single master curve, independent of the Bingham number. The effects of all dimensionless parameters on the development length are investigated. Furthermore, we analyze the distribution of yielded and unyielded regions within the flow domain and investigate the influence of the regularization parameter in accurately determining these regions.

Οι ιξωδοπλαστικές ροές ή ροές υλικών με τάση διαρροής απαντώνται σε πολλές διεργασίες βιομηχανικού ενδιαφέροντος. Τα υλικά αυτά περιλαμβάνουν αρκετά τυποποιημένα τρόφιμα, γεωτρητικά ρευστά, καλλυντικά, κρέμες, βιολογικά και γεωφυσικά ρευστά. Τα ιδανικά ιξωδοπλαστικά υλικά συμπεριφέρονται είτε σαν άκαμπτα στερεά είτε σαν ρευστά όταν η ασκούμενη τάση είναι αντίστοιχα μικρότερη ή μεγαλύτερη από μία κρίσιμη τιμή που καλείται τάση διαρροής . Τα ιξωδοπλαστικά υλικά είναι επίσης γνωστό ότι ολισθαίνουν στα τοιχώματα όταν η διατμητική τάση υπερβαίνει μια άλλη κρίσιμη τιμή, την τάση διολίσθησης. Μια συνέπεια των κρίσιμων αυτών τάσεων είναι η εμφάνιση διαφορετικών περιοχών ροής στις ιξωδοπλαστικές ροές με ολίσθηση στα τοιχώματα, στις οποίες το υλικό μπορεί να συμπεριφέρεται σαν στερεό ή να ρέει καθώς επίσης να ολισθαίνει σε ή να προσκολλάται σε κάποιο τοίχωμα. Κύριος στόχος της παρούσας διατριβής είναι η αναλυτική ή ημιαναλυτική επίλυση ή η επίλυση με μεθόδους διαταραχών ή αριθμητικές μεθόδους βασικών Νευτώνειων και ιξωδοπλαστικών ροών με ή χωρίς ολίσθηση στα τοιχώματα, όπως οι ροές Poiseuille μεταξύ παράλληλων πλακών και σε κυλινδρικούς ή δακτυλιοειδείς αγωγούς και η περιστροφική ροή μεταξύ παράλληλων πλακών.Αρχικά επιλύουμε ημιαναλυτικά την ροή Poiseuille σε δακτυλιοειδή αγωγό και την περιστροφική ροή μεταξύ παράλληλων δίσκων με ολίσθηση στα τοιχώματα θεωρώντας ρευστά Bingham και Herschel-Bulkley αντίστοιχα. Στην περίπτωση της ροής Poiseuille σε δακτυλιοειδήαγωγό με διαφορετικούς νόμους ολίσθησης κατά Navier (δηλ. με μηδενική τάση διολίσθησης) παρατηρούνται τρεις διαφορετικές περιοχές ροής: η περιοχή πλήρους ολίσθησης (μη διαρροή) κάτω από μια κρίσιμη τιμή της βαθμίδας πίεσης, η οποία ακολουθείται από την περιοχή ημιολίσθησης(μερική διαρροή) μέχρι μια δεύτερη κρίσιμη τιμή της βαθμίδας πίεσης πάνω από την οποία παρατηρείται πλήρης διαρροή του υλικού. Όταν η τάση διολίσθησης είναι μη-μηδενική, παρατηρείται αρχικά μια περιοχή χωρίς ροή κάτω από μία κρίσιμη τιμή της βαθμίδας πίεσης, η οποία ακολουθείται από τις περιοχές ολίσθησης και πλήρους διαρροής. Οι κρίσιμες τιμές της βαθμίδας πίεσης που ορίζουν αυτές τις περιοχές προσδιορίζονται αναλυτικά ενώ βρίσκουμε αναλυτικές εκφράσεις για την ταχύτητα και τη διατμητική τάση. Ταυτοποιήσαμε και διερευνήσαμε επίσης τις διάφορες περιοχές ροής που εμφανίζονται στην περίπτωση της περιστροφικής ροής ρευστού Herschel-Bulkley μεταξύ παράλληλων πλακών με ολίσθηση με μη-μηδενική τάση διολίσθησης στα τοιχώματα. Όταν η διατμητική τάση στην περιφέρεια, είναι μικρότερη από την τάση διολίσθησης, τότε η ασκούμενη ροπή δεν επαρκεί ώστε να περιστραφεί ο δίσκος. Όταν η διατμιτική τάση είναι μεγαλύτερη απο την τάση διολίσθησης αλλά μιρότερη από την τάση διαρροής , το υλικό δεν διαρρέει αλλά ολισθαίνει στα τοιχώματα και περιστρέφεται σαν στερεό με γωνιακή ταχύτητα ίση με το ήμισυ αυτής του περιστρεφόμενου δίσκου. Τέλος, αν η διατμιτική τάση είναι μεγαλύτερη από την τάση διαρροής, το υλικό ολισθαίνει παντού αλλά ρέει μόνο στον δακτύλιο ry <= r <= R , όπου ry η κρίσιμη ακτίνα στην οποία η διατμητική τάση είναι ίση με την τάση διαρροής και R η ακτίνα του δίσκου. Οι υπολογισθείσες καμπύλες ροής αναπαράγουν μοτίβα που παρατηρούνται σε πειράματα με κολλοειδή αιωρήματα. Έτσι οι λύσεις που βρήκαμε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το ρεολογικό χαρακτηρισμό των υλικών αυτών και τον προσδιορισμό των παραμέτρων ολίσθησης.Στη συνέχεια μελετούμε την επίδραση που έχει η εξάρτηση της ολίσθησης από την πίεση στη ροή Poiseuille σε δακτυλιοειδή αγωγό, θεωρώντας ότι έχουμε Νευτώνειο ρευστό και μια εξίσωση ολίσθησης με παραμέτρους που μεταβάλλονται με την πίεση. Εξάγουμε μια αναλυτική προσεγγιστική λύση μέχρι και τη δεύτερη τάξη με την εφαρμογή της μεθόδου κανονικών διαταραχών ως προς μια μικρή αδιάστατη παράμετρο που αντιστοιχεί στην εξάρτηση της παραμέτρου ολίσθησης από την πίεση. Επιπλέον, βρίσκουμε σε λυμένη μορφή μια έκφραση για τη μέση πτώση πίεσης που απαιτείται για τη διατήρηση σταθερής ογκομετρικής παροχής. Ακόμα εφαρμόζουμε μια τεχνική επιτάχυνσης της σύγκλισης με την έκφραση αυτή έτσι ώστε να αυξηθεί η ακρίβεια της αρχικής σειράς διαταραχών. Όλα τα φαινόμενα που επηρεάζονται από την εξάρτηση του νόμου ολίσθησης στην πίεση, εντείνονται όσο αυξάνει ο λόγος της εσωτερικής ακτίνας του αγωγού ως προς την εξωτερική. Το δεύτερο μέρος της διατριβής επικεντρώνεται στην μελέτη της ανάπτυξης ροής Νευτώνειων ρευστών και ρευστών Bingham, αρχικά μεταξύ παράλληλων πλακών και σε κυλινδρικούς αγωγούς χωρίς ολίσθηση στα τοιχώματα και στη συνέχεια σε δακτυλιοειδείς αγωγούς με ή χωρίς ολίσθηση στα τοιχώματα. Χρησιμοποιούμε το κατά Παπαναστασίου κανονικοποιημένο μοντέλο Bingham και προσομοιώσεις πεπερασμένων στοιχείων για να πάρουμε συστηματικά αποτελέσματα για ένα μεγάλο εύρος τιμών των αριθμών Reynolds, Bingham και ολίσθησης. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί έγιναν με τη χρήση του λογισμικού FEniCS και επίσης ελέγχθηκαν και επαληθεύτηκαν με ένα δικό μας κώδικα. Διερευνήσαμε εναλλακτικούς ορισμούς του μήκους ανάπτυξης της ροής συμπεριλαμβανομένου ενός ορισμού που βασίζεται στη διατμητική τάση στο τοίχωμα. Στην περίπτωση των παράλληλων πλακών και των κυλινδρικών αγωγών εισάγουμε κάποιους εναλλακτικούς ορισμούς για τον αριθμό Reynolds, έτσι ώστε οι καμπύλες του μήκους ανάπτυξης ροής ως συνάρτηση του αριθμού Reynolds να συγκλίνουν σε μία κύρια καμπύλη ανεξάρτητη του αριθμού Bingham. Η επιρροή των διάφορων αδιάστατων παραμέτρων πάνω στο μήκος ανάπτυξης της ροής μελετάται επίσης διεξοδικά. Επιπρόσθετα, αναλύουμε την κατανομή των χωρίων διαρροής και μη-διαρροής στο πεδίο ροής και μελετούμε την επιρροή της παραμέτρου κανονικοποίησης στην ακρίβεια υπολογισμού των χωρίων αυτών.