Geometric flows of G2-structures

Abstract

This thesis investigates parabolic (flow-based) methods for the study of $G_2$-structures on 7-manifolds, aiming to develop an analogue of Ricci flow in $G_2$-geometry. We prove that there exists a unique functional, the $G_2$-Hilbert functional $\mathcal{F}$---linear in scalar curvature and quadratic in torsion---whose gradient produces ``special Ricci-like operators'' and defines the associated flows of $G_2$-structures. Through a second-variation analysis of the volume-normalized functional, we show that torsion-free and nearly-$G_2$ structures are saddle critical points, analogous to the behavior of Einstein metrics under the Einstein--Hilbert functional. Finally, we study the evolution of geometric quantities under these flows and a $G_2$-analogue of Perelman's entropy functional, identifying torsion-related obstructions.

Η παρούσα διατριβή διερευνά παραβολικές μεθόδους (ροές) για τη μελέτη δομών $G_2$ σε 7-πολλαπλότητες, με στόχο την ανάπτυξη ενός αναλόγου της ροής Ricci στη γεωμετρία $G_2$. Αποδεικνύουμε ότι υπάρχει μοναδικό συναρτησοειδές, το συναρτησοειδές $G_2$-Hilbert $\mathcal{F}$, γραμμικό ως προς τη βαθμωτή καμπυλότητα και τετραγωνικό ως προς τη στρέψη, του οποίου η κλίση παράγει «ειδικούς τελεστές τύπου Ricci» και ορίζει τις αντίστοιχες ροές δομών $G_2$. Μέσω της δεύτερης μεταβολής του κανονικοποιημένου ως προς όγκο συναρτησοειδούς, δείχνουμε ότι οι δομές χωρίς στρέψη και οι σχεδόν-$G_2$ δομές αποτελούν σαγματικά κρίσιμα σημεία, σε αναλογία με τη συμπεριφορά των μετρικών Einstein ως προς το συναρτησοειδές Einstein--Hilbert. Τέλος, μελετάμε την εξέλιξη γεωμετρικών ποσοτήτων κάτω από αυτές τις ροές και ένα ανάλογο του συναρτησοειδούς εντροπίας του Perelman, εντοπίζοντας εμπόδια οφειλόμενα στη στρέψη.