Μοντελοποίηση μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων με νευρωνικά δίκτυα και συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: εκτίμηση παραμέτρων και εφαρμογές σε συστήματα Lotka-Volterra

Abstract

This thesis develops and evaluates a hybrid data-driven dynamical framework for modeling and forecasting the evolution of competitive systems observed through three interacting time series. The methodological core combines (i) neural networks for learning smooth trajectories from historical data, (ii) identification of a three-dimensional generalized Lotka--Volterra (LV) model through estimation of its interaction parameters from neural-network-implied derivatives, and (iii) out-of-sample prediction by numerically integrating the calibrated LV system with a classical fourth-order Runge--Kutta (RK4) scheme. The approach is designed to balance predictive performance with interpretability: the LV coefficients provide a compact and meaningful description of self-effects and cross-effects among the three components, while the neural network stage offers a flexible approximation that stabilizes estimation in the presence of noise and mild nonlinearities. Within the framework of this thesis, four studies were developed, each addressing a distinct aspect of the proposed hybrid dynamical modeling approach. The first study provides the foundational background by examining the use of feed-forward neural networks for solving ordinary differential equations, establishing key tools for approximating solutions and derivatives. Building on this foundation, three application-focused studies formulate and test the unified NN→LV→RK4 pipeline on real-world competitive settings, including (i) telecommunications market-share dynamics, (ii) cryptocurrency dominance/market-share dynamics, and (iii) the competition of fossil-fuel shares in the energy mix. In each case, the neural network is trained on the earliest 70% of the sample (chronological split), the LV interaction parameters are estimated from the learned trajectories, and the resulting dynamical system is propagated forward over the remaining 30% to produce genuine holdout forecasts. Empirical results across the applications show that the hybrid model can achieve accurate outof-sample predictions while simultaneously yielding interpretable interaction structures that are consistent with domain intuition (e.g., substitution, reinforcement, and asymmetric competition). Beyond forecasting, the framework supports diagnostic analysis through parameter interpretation, stability considerations, and cross-case comparisons. The thesis concludes by synthesizing methodological lessons across domains, discussing limitations such as regime shifts and unmodeled exogenous drivers, and outlining extensions including time-varying parameters, uncertainty quantification, and richer hybrid dynamical specifications.

Η παρούσα διατριβή αναπτύσσει και αξιολογεί ένα υβριδικό πλαίσιο, βασισμένο σε δεδομένα, για τη μοντελοποίηση και την πρόβλεψη της εξέλιξης ανταγωνιστικών συστημάτων που παρατηρούνται μέσω τριών αλληλεπιδρώντων χρονοσειρών. Ο μεθοδολογικός πυρήνας συνδυάζει: (i) Νευρωνικά Δίκτυα (ΝΔ) για την εκμάθηση ομαλών τροχιών από ιστορικά δεδομένα, (ii) ταυτοποίηση ενός τρισδιάστατου γενικευμένου μοντέλου Lotka--Volterra (LV) μέσω εκτίμησης των παραμέτρων αλληλεπίδρασης από παραγώγους που προκύπτουν από το νευρωνικό δίκτυο, και (iii) πρόβλεψη εκτός δείγματος με αριθμητική ολοκλήρωση του βαθμονομημένου συστήματος LV μέσω της κλασικής μεθόδου Runge--Kutta 4ης τάξης (RK4). Η βασική δομή της υβριδικής μεθοδολογίας που αναπτύχθηκε στην παρούσαδιατριβή οδήγησε σε τέσσερις εφαρμογές. Η πρώτη εφαρμογή παρέχει το θεμελιώδες υπόβαθρο, εξετάζοντας τη χρήση feed-forward (πρόσθιας τροφοδότησης) νευρωνικών δικτύων για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ). Με βάση αυτό το υπόβαθρο, τρεις διαφορετικές εφαρμογές δοκιμάζουν το ενιαίο σχήμα NΔ→LV→RK4 σε πραγματικά ανταγωνιστικά περιβάλλοντα, όπως οι τηλεπικοινωνίες, η αγορά κρυπτονομισμάτων και το ενεργειακό μίγμα. Σε κάθε περίπτωση, το νευρωνικό δίκτυο εκπαιδεύεται στο αρχικό 70% του δείγματος, οι παράμετροι αλληλεπίδρασης LV εκτιμώνται από τις εκτιμημένες τροχιές και το δυναμικό σύστημα προωθείται στο υπόλοιπο 30% ώστε να παραχθούν προβλέψεις εκτός δείγματος. Τα εμπειρικά αποτελέσματα δείχνουν ότι το υβριδικό μοντέλο μπορεί να επιτυγχάνει ακριβείς προβλέψεις, ενώ ταυτόχρονα αποδίδει ερμηνεύσιμες δομές αλληλεπίδρασης. Η διατριβή ολοκληρώνεται με σύνθεση συμπερασμάτων, συζήτηση περιορισμών (π.χ. μεταβολές κατάστασης και μη μοντελοποιημένοι εξωγενείς παράγοντες) και προτάσεις για επεκτάσεις, όπως χρονικά μεταβαλλόμενες παράμετροι και ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας.