Computational and machine learning investigiations of nonlinear complex systems

Abstract

This thesis investigates the interplay between nonlinearity, topology, and energy redistribution in discrete complex systems. The main focus is the discrete nonlinear Schrödinger (DNLS) equation on small-world networks, complemented by applications to physics-inspired machine learning and targeted electron transfer in chemical reactions. The first part of the thesis examines how long-range connectivity modifies nonlinear lattice dynamics. Small-world networks provide a controlled interpolation between nearest-neighbor lattices and mean-field-like coupling. Within this framework, network topology is shown to affect the spectral density of states, the localization of stationary solutions, and the bifurcation structure generated by nonlinearity. In the negative-temperature sector of the DNLS model, topology also acts as a thermodynamic control parameter. Sparse and fully connected networks sustain long-lived localized excitations (discrete breathers), whereas intermediate small-world connectivity promotes energy redistribution and weakens localization. These physical ideas are then extended to energy-based machine-learning architectures. Boltzmann-type models are modified by introducing structured sparse connectivity, continuous hidden variables, and DNLS-inspired nonlinear terms. The results show that physically motivated structure can improve reconstruction and completion tasks while reducing unnecessary connectivity. This supports the broader idea that concepts from nonlinear dynamics and statistical mechanics can provide useful inductive biases for machine-learning models. Finally, the thesis investigates targeted electron and energy transfer in chemical reactions using a nonlinear dimer model. When ionic and covalent interactions are balanced near conical intersections, the system can support ultrafast coherent transfer without thermal activation, producing non-Arrhenius behavior distinct from conventional Marcus theory. This mechanism can explain exceptional transfer efficiencies observed in biological systems.

Η παρούσα διατριβή διερευνά την αλληλεπίδραση μεταξύ μη γραμμικότητας, τοπολογίας και ανακατανομής της ενέργειας σε διακριτά πολύπλοκα συστήματα. Το κύριο αντικείμενο μελέτης είναι η διακριτή μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (DNLS) σε δίκτυα μικρού κόσμου, σε συνδυασμό με εφαρμογές στη μηχανική μάθηση εμπνευσμένη από τη φυσική και στη στοχευμένη μεταφορά ηλεκτρονίου σε χημικές αντιδράσεις. Στο πρώτο μέρος της διατριβής εξετάζεται ο τρόπος με τον οποίο η συνδεσιμότητα μακράς εμβέλειας μεταβάλλει τη δυναμική μη γραμμικών πλεγμάτων. Τα δίκτυα μικρού κόσμου επιτρέπουν μια ελεγχόμενη μετάβαση από πλέγματα με αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων προς συστήματα με σύζευξη τύπου μέσου πεδίου. Στο πλαίσιο αυτό, καταδεικνύεται ότι η τοπολογία του δικτύου επηρεάζει τη φασματική πυκνότητα καταστάσεων, τον εντοπισμό των στάσιμων λύσεων και τη δομή των διακλαδώσεων που προκαλεί η μη γραμμικότητα. Στην περιοχή αρνητικών θερμοκρασιών του μοντέλου DNLS, η τοπολογία λειτουργεί επιπλέον ως θερμοδυναμική παράμετρος ελέγχου. Τόσο τα αραιά όσο και τα πλήρως συνδεδεμένα δίκτυα υποστηρίζουν μακρόβιες εντοπισμένες διεγέρσεις, δηλαδή διακριτούς αναπνευστήρες, ενώ η ενδιάμεση συνδεσιμότητα μικρού κόσμου ευνοεί την ανακατανομή της ενέργειας και εξασθενεί τον εντοπισμό. Στο τρίτο μέρος, οι παραπάνω φυσικές αρχές αξιοποιούνται για τον σχεδιασμό μοντέλων μηχανικής μάθησης βασισμένων στην ενέργεια. Οι αρχιτεκτονικές τύπου Boltzmann τροποποιούνται με την εισαγωγή δομημένης αραιής συνδεσιμότητας, συνεχών κρυφών μεταβλητών και μη γραμμικών όρων εμπνευσμένων από το μοντέλο DNLS. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η ενσωμάτωση δομών με φυσικό υπόβαθρο μπορεί να βελτιώσει την απόδοση σε εργασίες ανακατασκευής και συμπλήρωσης δεδομένων, περιορίζοντας παράλληλα τις περιττές συνδέσεις. Το εύρημα αυτό ενισχύει τη γενικότερη άποψη ότι έννοιες από τη μη γραμμική δυναμική και τη στατιστική μηχανική μπορούν να προσφέρουν χρήσιμες επαγωγικές μεροληψίες στα μοντέλα μηχανικής μάθησης. Στο τελευταίο μέρος εξετάζεται η στοχευμένη μεταφορά ηλεκτρονίου και ενέργειας σε χημικές αντιδράσεις με τη χρήση ενός μη γραμμικού μοντέλου διμερούς. Όταν οι ιοντικές και οι ομοιοπολικές αλληλεπιδράσεις εξισορροπούνται κοντά σε κωνικές τομές, το σύστημα μπορεί να υποστηρίξει υπερταχεία συνεκτική μεταφορά χωρίς θερμική ενεργοποίηση. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε μη-Arrhenius συμπεριφορά, σαφώς διαφορετική από εκείνη που περιγράφεται από τη συμβατική θεωρία Marcus. Ο συγκεκριμένος μηχανισμός μπορεί να ερμηνεύσει τις εξαιρετικά υψηλές αποδόσεις μεταφοράς που παρατηρούνται σε βιολογικά συστήματα.