Entanglement entropy in the expanding universe

Abstract

In this thesis we investigate the entanglement entropy of a free scalar quantum field in expanding cosmological backgrounds and other curved spacetimes. Our aim is to understand how quantum correlations encode information about the geometry and evolution of the universe. We place particular emphasis on the inflationary era, where quantum fluctuations are stretched beyond the horizon, become effectively frozen, and are usually described in terms of a classical stochastic distribution. However, this description is incomplete: the underlying quantum nature of the fluctuations persists and is encoded in their entanglement. Although the stochastic picture provides a good approximation for some observables, it fails completely to capture the associated entanglement entropy. Therefore, a central question throughout this work is whether entanglement entropy can serve as a probe of the early universe and retain information inaccessible to conventional observables. We begin by analyzing the behavior of entanglement entropy in inflationary and post-inflationary cosmological backgrounds, namely radiation- and matter-dominated eras. For a free scalar field in the Bunch–Davies vacuum, we show that the entropy increases during inflation. This increase, driven by the progressive squeezing of the field modes, is proportional to the number of e-foldings. Remarkably, the entropy remains large after the end of inflation and during the subsequent radiation- and matter-dominated eras, indicating that the entropy retains a memory of the inflationary phase. Furthermore, we find that, while the entropy obeys an area law during inflation, a volume contribution emerges during the radiation domination era, suggesting an effective redistribution of entanglement into the bulk degrees of freedom and hinting at a thermodynamic interpretation from the perspective of a local observer. A detailed study of de Sitter space, which provides an idealized description of the inflationary phase, uncovers additional features. Using a generalization of Srednicki’s discretization method together with high-precision numerical techniques, we compute the entanglement entropy of a massless scalar field. We show that its leading behavior retains the area-law structure of flat space and reproduces the subleading universal logarithmic term associated with the conformal anomaly, while the cosmological expansion induces additional curvature-dependent corrections. These include a novel infrared-sensitive contribution that depends logarithmically on the size of the overall system. This non-local term indicates that the entanglement entropy is sensitive to degrees of freedom beyond the cosmological horizon, thereby suggesting that correlations with regions outside the observable patch can leave an imprint on local observables. The analysis is extended to other highly symmetric spacetimes, namely anti--de Sitter space and the Einstein universe. We show that in all cases the ultraviolet structure of the entropy is governed by the area law, followed by subleading logarithmic terms associated with the conformal anomaly, the field mass, and the curvature of the background. While the coefficients of the conformal-anomaly and mass-dependent terms take the same values across all geometries considered, the curvature-induced contribution distinguishes the different backgrounds. A further distinction arises from the infrared behavior: anti--de Sitter space exhibits no infrared contribution, whereas both de Sitter space and the Einstein universe display a logarithmic dependence on the size of the overall system. In de Sitter space, the infrared contribution is due to the infrared sensitivity of the correlator in the massless limit, whereas in the Einstein universe it originates from the presence of a normalizable zero mode in the discrete spectrum. In both cases, the dominant infrared contribution is associated with the zero-angular momentum sector in an expansion in spherical harmonics. The universal coefficients of the ultraviolet and infrared logarithmic terms are computed numerically to a high precision, and verified through explicit analytical results. Finally, we explore the connection between entanglement entropy and the concept of renormalization-group irreversibility in quantum field theory. For a free massive scalar field in flat space, we construct c- and a-functions directly from the finite part of the entanglement entropy. We then show that these functions interpolate monotonically between 1 and 0 at the ultraviolet and infrared fixed points, respectively, thereby capturing the monotonic variation of effective degrees of freedom with the energy scale.

Στην παρούσα διατριβή μελετούμε την εντροπία διεμπλοκής ενός ελεύθερου βαθμωτού κβαντικού πεδίου σε διαστελλόμενα κοσμολογικά υπόβαθρα και σε άλλους καμπύλους χωροχρόνους. Στόχος μας είναι να κατανοήσουμε με ποιον τρόπο οι κβαντικές συσχετίσεις κωδικοποιούν πληροφορία για τη γεωμετρία και την εξέλιξη του σύμπαντος. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην πληθωριστική περίοδο, κατά την οποία οι κβαντικές διακυμάνσεις εκτείνονται πέρα από τον ορίζοντα, παγώνουν δυναμικά καισυχνά περιγράφονται ως κλασικές στοχαστικές μεταβλητές. Ωστόσο, η περιγραφή αυτή δεν είναι πλήρης: η υποκείμενη κβαντική φύση των διακυμάνσεων διατηρείται και εκδηλώνεται μέσω της διεμπλοκής τους. Παρότι η στοχαστική εικόνα παρέχει μια καλή προσέγγιση για ορισμένα παρατηρήσιμα μεγέθη, αποτυγχάνει πλήρως να περιγράψει την αντίστοιχη εντροπία διεμπλοκής. Συνεπώς, ένα κεντρικό ερώτηματης εργασίας είναι κατά πόσο η εντροπία διεμπλοκής μπορεί να λειτουργήσει ως ανιχνευτής της πρώιμης φάσης του σύμπαντος, συγκρατώντας πληροφορία που δεν είναι προσβάσιμη μέσω συμβατικών μεθόδων παρατήρησης. Αρχικά, αναλύουμε τη συμπεριφορά της εντροπίας διεμπλοκής σε πληθωριστικά και μεταπληθωριστικά κοσμολογικά υπόβαθρα, όπως οι εποχές ακτινοβολίας και ύλης. Για ένα ελεύθερο βαθμωτό πεδίο στο κενό Bunch–Davies, δείχνουμε ότι η εντροπία αυξάνεται κατά τη διάρκεια του πληθωρισμού, με ρυθμό ανάλογο του αριθμού τωνe-folds, λόγω της προοδευτικής συμπίεσης των καταστάσεων του πεδίου. Επιπλέον,διαπιστώνουμε ότι η εντροπία διατηρεί σημαντική τιμή και μετά το τέλος του πληθωρισμού, κατά τη διάρκεια των εποχών ακτινοβολίας και ύλης, υποδεικνύοντας ότι συγκρατεί μνήμη της πληθωριστικής φάσης. Επιπροσθέτως, βρίσκουμε πως ενώ κατά τον πληθωρισμό υπακούει σε νόμο επιφανείας, κατά την εποχή ακτινοβολίας εμφανίζεται και όρος όγκου, γεγονός που υποδηλώνει ανακατανομή των συσχετίσεων απότην επιφάνεια προς τον όγκο του συστήματος. Στη συνέχεια, εξετάζουμε διεξοδικά τον χωρόχρονο de Sitter, ο οποίος αποτελεί ιδανικοποιημένο πρότυπο της πληθωριστικής φάσης. Χρησιμοποιώντας γενίκευση της μεθόδου διακριτοποίησης του Srednicki σε συνδυασμό με αριθμητικές τεχνικές υψηλής ακρίβειας, υπολογίζουμε την εντροπία διεμπλοκής ενός άμαζου βαθμωτού πεδίου. Δείχνουμε ότι ο κυρίαρχος υπεριώδης όρος διατηρεί τη μορφή του νόμου επιφανείας, ενώ αναπαράγεται και ο καθολικός λογαριθμικός όρος που συνδέεται με την ανωμαλία σύμμορφης συμμετρίας. Παράλληλα, η καμπυλότητα του υποβάθρου εισάγει πρόσθετες διορθώσεις, μεταξύ των οποίων αναδεικνύεται ένας νέος υπέρυθρος όρος με λογαριθμική εξάρτηση από το μέγεθος του συνολικού συστήματος. Ο μη τοπικός αυτός όρος υποδηλώνει ότι η εντροπία διεμπλοκής είναι ευαίσθητη σε βαθμούς ελευθερίας πέρα από τον κοσμολογικό ορίζοντα. Η ανάλυση επεκτείνεται σε άλλους χωροχρόνους με υψηλή συμμετρία, όπως τονanti–de Sitter χώρο και το σύμπαν Einstein. Δείχνουμε ότι η υπεριώδης δομή της εντροπίας διατηρείται σε όλες τις περιπτώσεις, με κυρίαρχο όρο επιφανείας και υποκυρίαρχους λογαριθμικούς όρους που σχετίζονται με την ανωμαλία σύμμορφης συμμετρίας, τη μάζα του πεδίου και την καμπυλότητα. Οι συντελεστές των όρων που σχετίζονται με την ανωμαλία σύμμορφης συμμετρίας και τη μάζα του πεδίου έχουν τις ίδιες τιμές για όλες τις γεωμετρίες, ενώ ο συντελεστής του όρου που σχετίζεται με την καμπυλότητα διαχωρίζει τα διαφορετικά υπόβαθρα. Η υπέρυθρη συμπεριφορά επίσης εξαρτάται από το υπόβαθρο: στον anti–de Sitter χώρο δεν εμφανίζεται υπέρυθρος όρος, ενώ στον χώρο de Sitter και στο σύμπαν Einstein προκύπτει λογαριθμική εξάρτηση από το μέγεθος του συνολικού συστήματος. Στην περίπτωση του de Sitter, η συμβολή αυτή συνδέεται με την υπέρυθρη ευαισθησία των συσχετιστών στο άμαζο όριο, ενώ στο σύμπαν Einstein προέρχεται από την ύπαρξη κανονικοποιήσιμου μηδενικού τρόπου ταλάντωσης στο φάσμα. Και στις δύο περιπτώσεις, η κυρίαρχη υπέρυθρη συνεισφορά αποδίδεται σε μηδενική στροφορμή. Οι συντελεστές των υπεριωδών και υπέρυθρων λογαριθμικών όρων υπολογίζονται αριθμητικά με υψηλή ακρίβεια και επιβεβαιώνονται μέσω αναλυτικών αποτελεσμάτων.Τέλος, διερευνούμε τη σύνδεση της εντροπίας διεμπλοκής με τη μη αντιστρεψιμότητα της ροής της ομάδας ανακανονικοποίησης. Για ένα ελεύθερο βαθμωτό πεδίο σε επίπεδο χώρο, κατασκευάζουμε συναρτήσεις c και a απευθείας από το πεπερασμένο μέρος της εντροπίας διεμπλοκής και δείχνουμε ότι αυτές μεταβάλλονται μονοτονικά μεταξύ 1 και 0 στο υπεριώδες και υπέρυθρο σταθερό σημείο αντίστοιχα, αποτυπώνοντας τη μονότονη μεταβολή των ενεργών βαθμών ελευθερίας της θεωρίας με την κλίμακα ενέργειας.