Αρμονικό μέτρο, γωνιακή παράγωγος και σχετικά προβλήματα της γεωμετρικής θεωρίας συναρτήσεων

Abstract

This thesis is devoted to the study of problems of geometric function theory. We prove that a simply connected domain in the plane is a disk if and only if it satisfies a certain doubling condition for the harmonic measure. Next, we study the existence of an angular derivative at infinity for comb domains and how a theorem of Burdzy can be used to answer related questions. We also study the class of simply connected domains which are convex in the positive direction and are contained either in a horizontal strip or a horizontal half plane. Such domains arise naturally in the theory of semigroups of holomorphic functions and the existence of an angular derivative for such domains has certain implications for the corresponding semigroup. We prove two geometric conditions which are necessary and sufficient for the existence of an angular derivative at infinity for domains of this class. Finally, we prove three criteria for the existence of an angular derivative at infinity for simply connected domains in the plane. Our results involve the hyperbolic distance, the Green function, and the harmonic measure. We use these results to construct several examples of domains which possess an angular derivative at infinity.

Το θέμα της διατριβής είναι η μελέτη προβλημάτων της γεωμετρικής θεωρίας συναρτήσεων. Αρχικά, δείχνουμε ότι ένας τόπος στο μιγαδικό επίπεδο είναι δίσκος αν και μόνο αν ικανοποιεί μια διπλασιαστική συνθήκη για το αρμονικό μέτρο. Στη συνέχεια, μελετούμε την ύπαρξη γωνιακής παραγώγου στο άπειρο για τόπους χτένες και πώς ένα θεώρημα του Burdzy σχετίζεται με αυτήν. Μελετούμε, επίσης, την κλάση των απλά συνεκτικών και δεξιά κυρτών τόπων οι οποίοι περιέχονται είτε σε κάποια οριζόντια λωρίδα ή σε κάποιο οριζόντιο ημιεπίπεδο. Δείχνουμε δύο γεωμετρικές συνθήκες οι οποίες είναι ικανές και αναγκαίες για την ύπαρξη γωνιακής παραγώγου στο άπειρο για τέτοιους τόπους. Αυτά τα δύο αποτελέσματα έχουν εφαρμογή στην ταξινόμηση των ημιομάδων ολόμορφων συναρτήσεων. Τέλος, αποδεικνύουμε τρία κριτήρια για την ύπαρξη γωνιακής παραγώγου στο άπειρο για απλά συνεκτικούς τόπους. Σε αυτά υπεισέρχονται η υπερβολική απόσταση, η συνάρτηση Green, και το αρμονικό μέτρο. Χρησιμοποιώντας αυτά τα κριτήρια, κατασκευάζουμε διάφορα παραδείγματα τόπων οι οποίοι έχουν γωνιακή παράγωγο στο άπειρο.