Essays on optimal investment strategies in continuous-time models

Abstract

This thesis consists of three chapters on continuous-time finance, all centred on the problem of optimal investment. A common theme throughout is that the classical benchmark of a frictionless and complete market is often too restrictive for economically relevant applications. The first chapter studies equilibrium returns when investors act strategically and face trading frictions, whereas the latter two chapters analyse optimal investment and utility-based valuation in incomplete semimartingale markets with non-replicable streams. In particular, Chapter 2 studies an Ito financial market in which the returns of risky assets are determined endogenously through a market-clearing condition among heterogeneous risk-averse investors with quadratic preferences and random endowments. Investors act strategically by taking into account the effect of their orders on the assets' drift. A frictionless market and one with exogenous quadratic transaction costs are analysed and compared. In the former, we derive the unique Nash equilibrium, at which investors' demand processes reveal hedging needs that differ from their true ones, resulting in a deviation of the Nash equilibrium from its competitive counterpart. In the presence of price impact and transaction costs, we characterise the Nash equilibrium via the unique solution of a system of FBSDEs and obtain a closed-form expression for the corresponding equilibrium returns. We show that, under common risk aversion and in the absence of noise traders, transaction costs and price impact do not affect equilibrium returns. When noise traders are present, comparing each market structure with its own frictionless benchmark shows that the transaction cost component of the Nash equilibrium coincides with the competitive one for two investors, but is dampened when more than two investors participate. Comparing instead the full frictional competitive and Nash equilibria, the return gap is shaped jointly by the level of noise trader demand and the trading-rate pressure induced by transaction costs. Chapter 3 considers an incomplete financial market with general continuous semimartingale dynamics in which a log-utility investor receives, in addition to an initial capital, units of a non-replicable endowment process. Using duality methods, we derive a fourth-order expansion of the primal value function with respect to the number epsilon of endowment units held by the investor. This expansion, in turn, provides the basis for a second-order approximation of the corresponding optimal wealth process. The key quantities governing these asymptotics are expressed through Kunita-Watanabe projections, in close analogy with the structure that appears in lower-order results of the same kind. The treatment covers finite and infinite horizons within a unified framework. Chapter 4 turns to the valuation problem associated with a small non-replicable liability stream in the same general semimartingale setting, under log-utility preferences. Therein, the notion of utility-based certainty equivalent is explored, namely the cash amount that offsets the investor's utility loss from bearing such a position. Since explicit valuation formulas are typically unavailable in incomplete markets, the analysis develops a fourth-order asymptotic expansion of this quantity with respect to the size of the stream. The resulting formula makes precise how market incompleteness affects prices beyond the leading terms and shows that higher-order effects can become economically relevant even for moderate positions. The chapter also treats the infinite-horizon case. Beyond its independent theoretical interest, this offers a convenient approximation mechanism for investors with long maturities. In that regime, the infinite-horizon formulation yields a simpler and more tractable benchmark for utility-based pricing, while still capturing the main economic effects of long-dated non-replicable cash flows.

Η παρούσα διατριβή αποτελείται από τρία κεφάλαια στο «continuous-time finance», τα οποία επικεντρώνονται στο πρόβλημα της βέλτιστης επένδυσης. Ένα κοινό θέμα που διατρέχει τη διατριβή είναι ότι το κλασικό υπόδειγμα μιας πλήρους αγοράς, χωρίς τριβές είναι συχνά περιοριστικό για οικονομικά σημαντικές εφαρμογές. Το πρώτο κεφάλαιο μελετά τις αποδόσεις ισορροπίας όταν οι επενδυτές δρουν στρατηγικά και αντιμετωπίζουν συναλλαγματικά κόστη στις συναλλαγές, ενώ τα δύο επόμενα κεφάλαια αναλύουν τη βέλτιστη επένδυση και την αποτίμηση σε μη-πλήρεις αγορές με «semimartingales». Συγκεκριμένα, το Κεφάλαιο 2 μελετά μια αγορά Ito, στην οποία οι αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων καθορίζονται ενδογενώς μέσω μιας συνθήκης εκκαθάρισης της αγοράς μεταξύ ετερογενών επενδυτών με «mean-variance preferences», και τυχαία εισοδήματα. Οι επενδυτές δρουν στρατηγικά, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση των εντολών τους στις αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων. Αναλύονται και συγκρίνονται τόσο η αγορά χωρίς τριβές όσο και η αγορά με εξωγενή τετραγωνικά κόστη συναλλαγών. Στην πρώτη περίπτωση, παράγουμε τη μοναδική ισορροπία Nash, στην οποία οι θέσεις των επενδυτών αποκαλύπτουν ανάγκες αντιστάθμισης που διαφέρουν από τις πραγματικές τους, οδηγώντας σε απόκλιση της ισορροπίας Nash από την αντίστοιχη ανταγωνιστική ισορροπία. Παρουσία «price impact» και «transaction costs», χαρακτηρίζουμε την ισορροπία Nash μέσω της μοναδικής λύσης ενός συστήματος FBSDEs και λαμβάνουμε μια κλειστή μορφή για τις αντίστοιχες αποδόσεις ισορροπίας. Δείχνουμε ότι, υπό κοινή αποστροφή στον κίνδυνο και απουσία θορυβωδών επενδυτών, τα κόστη συναλλαγών και η επίδραση τιμής δεν επηρεάζουν τις αποδόσεις ισορροπίας. Όταν υπάρχουν θορυβώδεις επενδυτές, η σύγκριση κάθε δομής αγοράς με το αντίστοιχο υπόδειγμα χωρίς τριβές δείχνει ότι η συνιστώσα του κόστους συναλλαγών στην ισορροπία Nash συμπίπτει με την ανταγωνιστική για δύο επενδυτές, αλλά μειώνεται όταν συμμετέχουν περισσότεροι από δύο επενδυτές. Αντίθετα, όταν συγκρίνουμε τις ισορροπίες με τριβές, ανταγωνιστική και Nash, η διαφορά των αποδόσεων διαμορφώνεται από κοινού από το επίπεδο της ζήτησης των θορυβωδών επενδυτών και από την πίεση στον ρυθμό συναλλαγών που προκαλείται από τα κόστη συναλλαγών. Το Κεφάλαιο 3 εξετάζει μια μη-πλήρη χρηματοοικονομική αγορά με «semimartingales», στην οποία ένας επενδυτής με λογαριθμική χρησιμότητα λαμβάνει, πέρα από ένα αρχικό κεφάλαιο, μονάδες μιας μη αντισταθμίσιμης διαδικασίας εισοδήματος. Χρησιμοποιώντας μεθόδους δυϊκότητας, παράγουμε ένα ανάπτυγμα τέταρτης τάξης της «primal value function» ως προς τον αριθμό έψιλον των μονάδων εισοδήματος που κατέχει ο επενδυτής. Το ανάπτυγμα αυτό παρέχει, με τη σειρά του, τη βάση για μια προσέγγιση δεύτερης τάξης της αντίστοιχης βέλτιστης διαδικασίας πλούτου. Οι βασικές ποσότητες που καθορίζουν αυτά τα ασυμπτωτικά αναπτύγματα εκφράζονται μέσω προβολών Kunita-Watanabe, σε στενή αναλογία με τη δομή που εμφανίζεται σε αποτελέσματα χαμηλότερης τάξης του ίδιου τύπου. Η ανάλυση καλύπτει πεπερασμένους και άπειρους χρονικούς ορίζοντες μέσα σε ένα ενιαίο πλαίσιο. Το Κεφάλαιο 4 στρέφεται στο πρόβλημα αποτίμησης που συνδέεται με μια μικρή μη αντισταθμίσιμη ροή υποχρεώσεων στο ίδιο γενικό πλαίσιο με «semimartingales», υπό λογαριθμικές προτιμήσεις. Εκεί εξετάζεται η έννοια του «utility-based certainty equivalent», δηλαδή το χρηματικό ποσό που αντισταθμίζει την απώλεια χρησιμότητας του επενδυτή από την ανάληψη μιας τέτοιας θέσης. Δεδομένου ότι κλειστοί τύποι αποτίμησης συνήθως δεν είναι διαθέσιμοι σε μη-πλήρεις αγορές, η ανάλυση αναπτύσσει ασυμπτωτικά αποτελέσματα τέταρτης τάξης αυτής της ποσότητας ως προς το μέγεθος της ροής. Ο τύπος που προκύπτει καθιστά ακριβές το πώς η μη-πληρότητα της αγοράς επηρεάζει τις τιμές πέρα από τους κυρίαρχους όρους και δείχνει ότι φαινόμενα υψηλότερης τάξης μπορούν να γίνουν οικονομικά σημαντικά ακόμη και για μέτριες θέσεις. Το κεφάλαιο πραγματεύεται επίσης την περίπτωση άπειρου χρονικού ορίζοντα. Πέρα από το ανεξάρτητο θεωρητικό της ενδιαφέρον, η ανάλυση αυτή προσφέρει έναν εύχρηστο μηχανισμό προσέγγισης για επενδυτές με μακροπρόθεσμους ορίζοντες. Σε αυτό το καθεστώς, η διατύπωση άπειρου χρονικού ορίζοντα παρέχει ένα απλούστερο και πιο διαχειρίσιμο υπόδειγμα αναφοράς για την αποτίμηση μέσω χρησιμότητας, ενώ εξακολουθεί να αποτυπώνει τις βασικές οικονομικές επιδράσεις των μακροπρόθεσμων μη αντισταθμίσιμων χρηματικών ροών.