On the unified transform method for IBVPs on the half-line

Abstract

We rigorously study and analyze the solutions of the inhomogeneous initial-boundary-value problems for the linear Korteweg-de Vries equation and for the Airy equation on the space-time quarter-plane. The solutions to these equations are expressed by integrals taken on contours in the complex plane and are derived via implementation of the Fokas unified transform method. Although these equations differ merely in the sign of their spatial-derivative term, it turns out that the qualitative properties of their solutions, such as the boundary behavior of the derivatives of the solutions and their behavior as goes to infinity present drastic discrepancies. As a matter of fact, even the number of the required boundary conditions for each equation is different.

Μελετούμε και αναλύουμε αυστηρά τις λύσεις μη ομογενών προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών για τη γραμμική εξίσωση Korteweg-de Vries και για την εξίσωση Airy στο χωροχρονικό τεταρτημόριο. Οι λύσεις αυτών των εξισώσεων εκφράζονται μέσω ολοκληρωμάτων επί καμπυλών στο μιγαδικό επίπεδο και προκύπτουν από την εφαρμογή της ενοποιημένης μεθόδου μετασχηματισμού του Φωκά. Παρόλο που οι δύο αυτές εξισώσεις διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο του όρου που περιέχει τη χωρική παράγωγο, αποδεικνύεται ότι οι ποιοτικές ιδιότητες των λύσεών τους, όπως η συμπεριφορά των παραγώγων των λύσεων κοντά στο σύνορο και η συμπεριφορά τους στο χωρικό άπειρο, παρουσιάζουν δραστικές διαφορές.