Combinatorial methods in the study of Weyl module homomorphisms

Abstract

Let K be an infinite field of positive characteristic p and let G = GL_n(K) be the general linear group defined over K. Since the classical papers of Carter-Lusztig and Carter-Payne, homomorphism spaces Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) between Weyl modules have attracted much attention. In those works sufficient arithmetic conditions on λ,μ and p were found so that Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) is nonzero. In general the determination of the dimensions of the homomorphism spaces, or even when they are nonzero, seems a difficult problem. There seem to be very few general results. In this thesis we present two new results. First we show that under suitable combinatorial hypotheses on λ,μ and p we have Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) is nonzero. A nonzero homomorphism Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) is provided explicitly that corresponds to the sum of all semistandard tableaux of shape μ and weight λ. Second, we classify all homomorphisms between the Weyl modules Δ(a,b,1^d) and Δ(a+d,b) . In particular, we prove that Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) is nonzero if and only if p = 2 and a is even. In this case, we show that the dimension of Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) is equal to 1 and we provide an explicit generator whose description depends on binary expansions of various integers associated to a,b,d.

Έστω K ένα άπειρο σώμα θετικής χαρακτηριστικής p και G = GL_n(K) η γενική γραμμική ομάδα πάνω από το K. Από τις κλασικές εργασίες των Carter--Lusztig και Carter--Payne,οι χώροι ομομορφισμών Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) μεταξύ προτύπων Weyl έχουν προσελκύσει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Στις εργασίες αυτές προσδιορίστηκαν επαρκείς αριθμητικές συνθήκεςεπί των λ, μ και του p, ώστε ο χώρος Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) να είναι μη μηδενικός. Γενικότερα, ο προσδιορισμός της διάστασης των χώρων ομομορφισμών ή ακόμη και οι συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτοί είναι μη μηδενικοί φαίνεται να αποτελεί ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα. Υπάρχουν ελάχιστα γενικά αποτελέσματα. Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζουμε δύο νέα αποτελέσματα. Πρώτον, αποδεικνύουμε ότι, υπό κατάλληλες συνδυαστικές υποθέσεις για τα λ,μ και p, ο χώρος Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) είναι μη μηδενικός. Επιπλέον, κατασκευάζεται ένας μη μηδενικός ομομορφισμός Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) ο οποίος αντιστοιχεί στο άθροισμα όλων των semistandard tableaux σχήματος μ και βάρους λ. Δεύτερον, ταξινομούμε όλους τους ομομορφισμούς μεταξύ των Weyl προτύπων Δ(a,b,1^d) and Δ(a+d,b). Ειδικότερα, αποδεικνύουμε ότι το Hom_G(Δ(λ),Δ(μ)) είναι μη μηδενικό αν και μόνον αν p=2 και ο ακέραιος a είναι άρτιος. Στην περίπτωση αυτή δείχνουμε ότι dimHom_G(Δ(λ),Δ(μ)) = 1 και παρέχουμε έναν γεννήτορα του χώρου αυτού, του οποίου η περιγραφή εξαρτάται από τις δυαδικές παραστάσεις διαφόρων ακεραίων που σχετίζονται με τα a,b και d.