A homotopy proof of the Bass-Heller-Swan formula

Abstract

We give a purely homotopic proof of the Bass-Heller-Swan Formula. The basic idea is to separate the controlled and uncontrolled parts of the formula over S¹, using methods that are based on the homotopy definition and properties of the pieces. We compare our construction with the geometric forget control and its inverse, the relaxation construction. The key feature of our approach is that it relies solely on CW-complexes and homotopy construction, avoiding any use of finite dimensional or Hilbert cube manifolds.

Παρέχουμε μια αμιγώς ομοτοπική απόδειξη της εξίσωσης Bass-Heller-Swan. Η βασική ιδέα είναι ο διαχωρισμός των ελεγχόμενων και μη ελεγχόμενων τμημάτων της εξίσωσης πάνω από το S¹, με μεθόδους που βασίζονται στον ομοτοπικό ορισμό και στις ιδιότητες των επιμέρους συνιστωσών. Συγκρίνουμε την κατασκευή μας με τη γεωμετρική forget control και την αντίστροφή της, την κατασκευή relaxation. Το κεντρικό χαρακτηριστικό της προσέγγισής μας είναι ότι βασίζεται αποκλειστικά σε CW-σύμπλοκα και ομοτοπικές κατασκευές, αποφεύγοντας οποιαδήποτε χρήση πεπερασμένης διάστασης ή Hilbert cube πολλαπλοτήτων.