Group actions on algebraic curves

Abstract

The doctoral dissertation of George Katsimprakis, titled "Group actions on curves" (University ofAthens, 2026) under the supervision of Aristides Kontogeorgis, constitutes an advanced study in algebraic geometry and group theory, focusing on the determination of the generators of fundamental groups associated with cyclic covers of the projective line. The work is structured around two main pillars, initially examining infinite cyclic covers through analytical algebraic computations and subsequently finite cyclic covers, where monodromy actions, the Smith normalform, and the application of Schreier's lemma for finding generators are thoroughly analyzed. Particular emphasis is placed on the combinatorial approach through the theory of S-graphs and the folding technique, as well as the action of braid groups, while the study extends to the compactification of covers and their connection to the classical Chevalley-Weil formula for the representation of automorphism groups on spaces of differentials. The work concludes with an extensive computational appendix in Python, which bridges the theoretical framework of Algebraic Topology and Riemann surfaces with the algorithmic resolution of complex geometric problems, thereby offering a comprehensive methodology for understanding symmetries and structures on algebraic curves.

Η διδακτορική διατριβή του Γεωργίου Κατσιμπράκη, με τίτλο "Group actions on curves" (ΕΚΠΑ,2026) υπό την επίβλεψη του Αριστείδη Κοντογεώργη, αποτελεί μια προχωρημένη μελέτη στην αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία ομάδων, εστιάζοντας στον προσδιορισμό των γεννητόρων θεμελιωδών ομάδων που σχετίζονται με κυκλικές καλύψεις της προβολικής ευθείας. Η εργασία διαρθρώνεται σε δύο κύριους πυλώνες, εξετάζοντας αρχικά τις άπειρες κυκλικές καλύψεις μέσω αναλυτικών αλγεβρικών υπολογισμών και στη συνέχεια τις πεπερασμένες κυκλικές καλύψεις, όπου αναλύονται διεξοδικά οι δράσεις μονοδρομίας, η κανονική μορφή Smith και η εφαρμογή του λήμματος του Schreier για την εύρεση γεννητόρων. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη συνδυαστική προσέγγιση μέσω της θεωρίας S-γραφημάτων και της τεχνικής του folding (αναδίπλωσης), καθώς και στη δράση των ομάδων πλεξίδων (braid groups), ενώ η μελέτη επεκτείνεται στη συμπαγοποίηση των καλυμμάτων και τη σύνδεσή τους με τον κλασικό τύπο Chevalley-Weil για την αναπαράσταση ομάδων αυτομορφισμών σε χώρους διαφορικών. Το έργο ολοκληρώνεται με ένα εκτενές υπολογιστικό παράρτημα σε γλώσσα Python, το οποίο γεφυρώνει το θεωρητικό πλαίσιο της Αλγεβρικής Τοπολογίας και των επιφανειών Riemann με την αλγοριθμική επίλυση σύνθετων γεωμετρικών προβλημάτων, προσφέροντας έτσι μια ολοκληρωμένη μεθοδολογία για την κατανόηση των συμμετριών και των δομών πάνω σε αλγεβρικές καμπύλες