Product type quadrature formulae based on Chebyshev polynomials

Abstract

The main focus of this work is the construction and analysis of new numerical integration formulae arising from different combinations of Chebyshev weight functions and Chebyshev nodes. For these formulae, key properties are investigated, including their weights, degree of exactness and convergence. Some of these new rules achieve the optimal degree of exactness among numerical integration formulae that are not of Gauss type. Error bounds are derived, either optimal of asymptotic nature using Peano kernel methods, or for analytic functions using Hilbert space techniques. In particular, a new method based on Hilbert space techniques is introduced, which allows the analytical computation of the norm of the error functional, leading to practical and accurate error bounds for analytic functions.

Το κεντρικό αντικείμενο είναι η κατασκευή και η ανάλυση νέων τύπων αριθμητικής ολοκλήρωσης που προκύπτουν από διαφορετικούς συνδυασμούς συναρτήσεων βάρους Chebyshev και κόμβων Chebyshev. Για αυτούς τους τύπους μελετώνται βασικές ιδιότητες όπως τα βάρη τους, ο βαθμός ακρίβειας και η σύγκλισή τους. Ορισμένοι από τους νέους τύπους επιτυγχάνουν το βέλτιστο βαθμό ακρίβειας για τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης που δεν είναι τύποι του Gauss. Yπολογίζονται φράγματα για το σφάλμα τoυς, είτε βέλτιστα ασυμπτωτικού χαρακτήρα με μεθόδους του πυρήνα Peano ή για αναλυτικές συναρτήσεις με τεχνικές χώρων Hilbert. Ειδικότερα, εισάγουμε μια νέα μέθοδο, βασισμένη σε τεχνικές χώρων Hilbert, η οποία μας επιτρέπει τον αναλυτικό υπολογισμό της νόρμας του συναρτησοειδούς του σφάλματος και έτσι οδηγεί σε πρακτικά και ακριβή φράγματα για το σφάλμα των τύπων σε αναλυτικές συναρτήσεις.