Κατασκευή προσαρμοστικών αναδράσεων για μη γραμμικά συστήματα πεπερασμένης διάστασης και γραμμικά συστήματα άπειρης διάστασης

Abstract

We present three adaptive schemes for the practical regulation of systems of ordinary differential equations with unknown parameters, appearing linearly. The schemes are designed to guarantee robustness against external disturbances. Namely, in Chapter 3 an adaptive scheme for nonlinear systems is presented which employs nonlinear damping terms that depend both on the state and the parameter estimate. We show that the scheme guarantees the existence of KL estimates along the regulation of the system state up to a point of assignable distance from the origin. Hence, the trajectories of the closed-loop system are converging uniformly, with respect to the initial conditions, to a neighborhood of the origin. The radius of that neighborhood and the convergence rate of the closed-loop system trajectories are controlled by parameters within the scheme. Thus, ensuring a degree of robustness against external disturbances. Regulation of the state to the origin is not excluded, but it happens in a non-uniform and non-quantifiable manner. Moreover, the design which is presented defines a class of output functions for which Uniform Global Asymptotic Output Stability (UGAOS) is guaranteed. We present the design applying to systems that satisfy the Matching Condition (MC) and to systems in the strict feedback form. Simulations are provided that compare the performance of the designed scheme with the classical one proposed in the literature. In Chapter 4, we present the design of an infinite-dimensional feedback that depends on the history of the state and the input function itself. This scheme, which cannot be characterized as adaptive in the classical sense, guarantees, in the presence of arbitrary large, bounded disturbances, practical regulation of the state in a uniform, with respect to the initial conditions, manner. The radius of the residual neighborhood, the convergence rate and the asymptotic gain of the disturbances are assignable. Moreover, we present an identifier that operates independently. Provided with sufficient state excitation, the identifier achieves exact estimation of the system parameters in the disturbance-free case. In the case where disturbances are present, the identifier produces an estimation with an assignable gain with respect to the magnitude of the disturbance. In Chapter 5, we extend the design of the controller Deadzone-Adapted Disturbance Suppression (DADS) for systems that satisfy the MC, to systems in the strict feedback form. The adaptive scheme Deadzone-Adapted Disturbance Suppression (DADS), guarantees, in the presence of arbitrary large, bounded disturbances, practical regulation of the state to a residual set of assignable radius. The scheme that applies to strict feedback systems is designed following the backstepping procedure and we present an explicit design algorithm for a class of strict feedback systems. Finally, a simulation is presented comparing the performance of the DADS scheme with the classical one proposed in the literature, both with the σ-modification in the adaptive law and without.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται οι σχεδιασμοί τριών προσαρμοστικών σχημάτων για την practical ρύθμιση συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων με άγνωστους παραμέτρους, που εμφανίζονται γραμμικά στις εξισώσεις. Η σχεδίαση των προσαρμοστικών σχημάτων έγινε στοχεύοντας, πέρα από την επίτευξη της ρύθμισης, την ευρωστία του συστήματος κλειστού βρόχου απέναντι σε εξωτερικές διαταραχές. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 3 σχεδιάζεται ένα προσαρμοστικό σχήμα το οποίο, χρησιμοποιώντας όρους μη γραμμικής απόσβεσης που εμπλέκουν την κατάσταση του συστήματος προς ρύθμιση καθώς και την εκτίμηση των παραμέτρων, καταφέρνει να εξασφαλίσει εκτιμήσεις τύπου KL για την ρύθμιση της κατάστασης του συστήματος, μέχρι ενός προκαθορισμένου σημείου. Έτσι, για το σύστημα κλειστού βρόχου επιτυγχάνεται η ομοιόμορφη, ως προς τις αρχικές συνθήκες, σύγκλιση των τροχιών σε μία περιοχή της αρχής. Η ακτίνα της περιοχής αυτής καθώς και η ταχύτητα σύγκλισης των τροχιών του συστήματος κλειστού βρόχου σε αυτή ελέγχονται από παραμέτρους του σχήματος. Γεγονός που εξασφαλίζει την ευρωστία της συμπεριφοράς αυτής απέναντι σε διαταραχές. Η ρύθμιση της κατάστασης του συστήματος στην αρχή δεν αποκλείεται, αλλά συμβαίνει με μη ομοιόμορφο και ποσοτικοποιήσιμο τρόπο. Επίσης, η σχεδίαση του σχήματος προσδιορίζει μια κλάση συναρτήσεων εξόδου, για τις οποίες εξασφαλίζεται Ομοιόμορφη Ολική Ασυμπτωτική Ευστάθεια Εξόδου (UGAOS). Η σχεδίαση γίνεται για συστήματα που ικανοποιούν την Matching Condition (MC) και για συστήματα στην μορφή strict-feedback form. Ακόμη, παρουσιάζονται αριθμητικές προσομοιώσεις που συγκρίνουν το σχήμα αυτό με το τυπικό σχήμα που προτείνεται στη βιβλιογραφία. Στο κεφάλαιο 4, παρουσιάζεται η σχεδίαση μιας απειροδιάστατης ανάδρασης η οποία εξαρτάται από παρελθούσες τιμές της κατάστασης του συστήματος και της ίδιας της συνάρτησης εισόδου. Το σχήμα αυτό, όχι προσαρμοστικό με την κλασική έννοια, καταφέρνει, παρουσία αυθαίρετα μεγάλων (φραγμένων) εξωτερικών διαταραχών, practical ρύθμιση της κατάστασης του συστήματος με ομοιόμορφο τρόπο. Η ακτίνα της περιοχής που συγκλίνουν οι τροχιές του συστήματος εξαρτάται από το μέγεθος της διαταραχής αλλά η επιρροή της ελέγχεται από παραμέτρους του σχήματος (asymptotic gain). Επίσης, η ταχύτητα σύγκλισης της κατάστασης του συστήματος στην περιοχή αυτή ελέγχεται από παραμέτρους του σχήματος. Ακόμα, παρουσιάζεται η σχεδίαση ενός ανιχνευτή των άγνωστων παραμέτρων του συστήματος ο οποίος είναι ανεξάρτητος του παραπάνω σχήματος. Αν υπάρχει επαρκή διέγερση της κατάστασης, ο ανιχνευτής καταφέρνει ακριβή εκτίμηση των παραμέτρων σε πεπερασμένο χρόνο, όταν δεν εμφανίζονται εξωτερικές διαταραχές. Στην περίπτωση που εξωτερικές διαταραχές είναι παρούσες, το σφάλμα της εκτίμησης του ανιχνευτή εξαρτάται από το μέγεθος της διαταραχής, με την επιρροή της να ελέγχεται από παραμέτρους του ανιχνευτή. Στο κεφάλαιο 5 επεκτείνεται η σχεδίαση του σχήματος Deadzone-Adapted Disturbance Suppression (DADS) για συστήματα που ικανοποιούν την (MC), σε συστήματα στην strict-feedback form. Το προσαρμοστικό σχήμα Deadzone-Adapted Disturbance Suppression (DADS), καταφέρνει, παρουσία αυθαίρετα μεγάλων (φραγμένων) εξωτερικών διαταραχών, ρύθμιση της κατάστασης του συστήματος σε μια περιοχή της αρχής με ελέγξιμη ακτίνα. Η σχεδίαση που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5, γίνεται ακολουθώντας την backstepping διαδικασία, ενώ παρουσιάζεται και ο αλγόριθμος σχεδίασης για μια κατηγορία strict-feedback συστημάτων. Τέλος, παρουσιάζεται αριθμητική προσομοίωση που συγκρίνει την επίδοση του σχήματος DADS με ένα τυπικό σχήμα που προτείνεται στη βιβλιογραφία, καθώς και με το αντίστοιχο που χρησιμοποιεί την σ-modification τροποποίηση στον προσαρμοστικό νόμο για να αντισταθμίσει τις διαταραχές.