Reduction techniques for homological dimensions of Finite Dimensional Algebras

Abstract

This thesis investigates the Finitistic Dimension Conjecture (FDC) for Artin algebras via a combination of homological reduction techniques and combinatorial applications. The central objective is to develop general, as well as practical, criteria for transferring the finiteness of finitistic and global dimensions across ring homomorphisms, particularly within the class of bound quiver algebras. We first establish a homological framework based on radical-preserving homomorphisms with superfluous kernel. We demonstrate that these maps provide a sufficient condition for reflecting the finiteness of homological dimensions under natural assumptions. By characterizing radical preservation in terms of the behavior of the induction functor on projective covers, we extend several classical results by Small and others, providing a unified perspective on previous reduction methods. Leveraging this framework, we introduce a novel combinatorial construction termed uniformization. This allows us to embed a bound quiver algebra into one with uniform Loewy length, where the finitistic dimensions are known to be zero. This technique proves the finiteness of the finitistic dimensions for a new, broad class of algebras defined by quasi-uniform Loewy length, including cases that fall outside the reach of traditional methods. The second part of the thesis introduces a novel method for removing arrows from bound quiver algebras that take part in monomial relations. We first define strict monomial generating sets for an admissible ideal and demonstrate that they guarantee the existence of a special Gröbner basis which allows the explicit calculation of the minimal projective resolutions of certain associated bimodules. Thus, we situate this combinatorial construction within the framework of a novel reduction result for cleft extensions of abelian categories. In particular, we prove that the removal of a single arrow involved in such a monomial relation preserves the finiteness of the little finitistic dimension. Finally, we establish a generalized arrow removal operation that encompasses the classical arrow removal of Green–Psaroudakis–Solberg and the monomial removal of this thesis, as well as the removal of arrows taking part in complex non-monomial relations. In particular, we introduce the arrow reduced and arrow irredundant versions of an algebra. These minimal representations retain key homological invariants, including the finiteness of finitistic dimensions, Iwanaga–Gorensteinness, and the triangle equivalence of singularity categories. We conclude by formulating inverse operations, culminating in the construction of trivial one-arrow extensions, which provide a purely combinatorial method to generate vast families of algebras satisfying the FDC in a flexible way. The utility of our results is demonstrated through various concrete examples of algebras for which the finiteness of the finitistic dimensions was inaccessible through prior methods.

Η παρούσα διατριβή διερευνά την Εικασία της Περατοκρατικής Διάστασης (FDC) για τις άλγεβρες Artin μέσω ενός συνδυασμού ομολογικών τεχνικών αναγωγής και συνδυαστικών εφαρμογών. Ο κεντρικός στόχος είναι η ανάπτυξη γενικών, όσο και πρακτικών, κριτηρίων για τη μεταφορά της περατότητας των περατοκρατικών και της ολικής διάστασης μέσω ομομορφισμών δακτυλίων, ιδιαίτερα εντός της κλάσης των αλγεβρών πεπερασμένων quiver με σχέσεις (bound quiver algebras). Αρχικά, θεμελιώνουμε ένα ομολογικό πλαίσιο βασισμένο σε ομομορφισμούς που διατηρούν το ριζικό (radical-preserving) με αμελητέο πυρήνα (superfluous kernel). Αποδεικνύουμε ότι αυτοί οι ομομορφισμοί παρέχουν μια ικανή συνθήκη για την ανάκλαση της περατότητας των παραπάνω ομολογικών διαστάσεων υπό φυσικές υποθέσεις. Χαρακτηρίζοντας τη διατήρηση του ριζικού με όρους της συμπεριφοράς του συναρτητή επαγωγής (induction functor) πάνω σε προβολικά καλύμματα (projective covers), επεκτείνουμε αρκετά κλασικά αποτελέσματα των Small και άλλων, παρέχοντας μια ενοποιημένη προσέγγιση σε προηγούμενες μεθόδους αναγωγής. Αξιοποιώντας αυτό το πλαίσιο, εισάγουμε μια νέα συνδυαστική κατασκευή, την οποία ονομάζουμε ομογενοποίηση (uniformization). Αυτή μας επιτρέπει να εμφυτεύσουμε μια άλγεβρα bound quiver σε μια άλλη με ομοιόμορφο μήκος Loewy (uniform Loewy length), όπου οι περατοκρατικές διαστάσεις είναι γνωστό ότι είναι μηδενικές. Μέσω αυτής της τεχνικής αποδεικνύουμε την περατότητα των περατοκρατικών διαστάσεων για μια νέα, ευρεία κλάση αλγεβρών που ορίζονται από το σχεδόν ομοιόμορφο μήκος Loewy (quasi-uniform Loewy length), συμπεριλαμβανομένων περιπτώσεων που βρίσκονται εκτός του πεδίου εφαρμογής των παραδοσιακών μεθόδων. Το δεύτερο μέρος της διατριβής εισάγει μια νέα μέθοδο για την αφαίρεση βελών από άλγεβρες bound quiver που συμμετέχουν σε μονωνυμικές σχέσεις. Αρχικά ορίζουμε τα αυστηρά μονωνυμικά σύνολα γεννητόρων (strict monomial generating sets) για ένα επιτρεπτό (admissible) ιδεώδες και δείχνουμε ότι εγγυώνται την ύπαρξη μιας ειδικής βάσης Gröbner η οποία μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τις ελάχιστες προβολικές αναλύσεις ορισμένων διπροτύπων. Έτσι, εντάσσουμε αυτή τη συνδυαστική κατασκευή στο πλαίσιο ενός νέου αποτελέσματος αναγωγής για σφηνοειδείς επεκτάσεις (cleft extensions) αβελιανών κατηγοριών. Αυτό μας επιτρέπει να αποδείξουμε ότι η αφαίρεση ενός μεμονωμένου βέλους που εμπλέκεται σε μια τέτοια μονωνυμική σχέση διατηρεί την περατότητα της μικρής περατοκρατικής διάστασης. Τέλος, αναπτύσσουμε μια γενικευμένη διαδικασία αφαίρεσης βελών που περιλαμβάνει την κλασική αφαίρεση βελών των Green–Psaroudakis–Solberg και τη μονωνυμική αφαίρεση της παρούσας διατριβής, καθώς και την αφαίρεση βελών που συμμετέχουν σε περίπλοκες μη-μονωνυμικές σχέσεις. Επιπλέον, εισάγουμε την ανηγμένη ως προς τα βέλη (arrow reduced) και τη μη-περιττή ως προς τα βέλη (arrow irredundant) εκδοχή μιας άλγεβρας. Αυτές οι ελάχιστες αναπαραστάσεις διατηρούν βασικές ομολογικές αναλλοίωτες, συμπεριλαμβανομένης της περατότητας των περατοκρατικών διαστάσεων, της ιδιότητας Iwanaga–Gorenstein, και της τριγωνικής ισοδυναμίας των κατηγοριών ιδιομορφίας (singularity categories). Ολοκληρώνουμε διατυπώνοντας αντίστροφες διαδικασίες οι οποίες οδηγούν στην κατασκευή των τετριμμένων επεκτάσεων ενός βέλους (trivial one-arrow extensions), παρέχοντας μια καθαρά συνδυαστική μέθοδο για τη δημιουργία τεράστιων οικογενειών αλγεβρών που ικανοποιούν την FDC με μεγάλη ευελιξία. Η χρησιμότητα των αποτελεσμάτων μας καταδεικνύεται μέσω διαφόρων συγκεκριμένων παραδειγμάτων αλγεβρών για τις οποίες η περατότητα των περατοκρατικών διαστάσεων ήταν απρόσιτη μέσω προηγούμενων μεθόδων.