Study of nonlinear dynamical systems with hidden attractors: application to pseudorandom bit generator and image encryption

Abstract

In this dissertation, systems exhibiting hidden attractors are studied. In the first part, our work focuses on the construction of novel systems with a single stable equilibrium, systems without equilibria and systems with an infinite number of equilibrium points. All systems are studied numerically with use of numerical tools such as bifurcation diagrams, phase portraits, basins of attractions, Lyapunov exponent spectrum, DFT Power spectra and sensitivity diagrams. Also, a thorough analytical investigation of the systems is attempted, when it’s possible. In the case of systems with a single stable equilibrium (Chapter 2), we introduce a method to generate a new class of 3D, 4D and 5D chaotic systems, which are characterized by the occurrence of Hopf bifurcation. The projection method of Y.A. Kuznetzov is utilized in order to investigate Hopf bifurcation and the stability of the corresponding Hopf limit cycles. Also, a 4D Hamiltonian system with a non-Hamiltonian perturbation and a single equilibrium, which exhibits hidden and self-excited attractors, is analytically and numerically examined in the final Section of Chapter 2. In Chapter 3, novel systems without equilibria are constructed, which are extensive modifications of known systems with hidden attractors. In Chapter 4, a plethora of original and modified systems with an infinite number of equilibria located on curves are presented. In Chapter 5, we introduce an algorithm to compute the connecting curves of the systems with hidden attractors (i.e. curves along which the acceleration of the dynamical flow is proportional to its velocity). Then, these curves are illustrated through 3D projections. In the second part of the dissertation, presented in Chapter 6, we utilize several systems from earlier chapters to generate pseudorandom bit sequences that successfully pass the NIST 800-22 statistical test suite. Then, we proceed to the application of the PRBG algorithms we developed to image encryption. The encryption schemes are proven to be resilient against statistical and differential attacks. Finally, the results of our dissertation are summarized in Chapter 7.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή γίνεται μελέτη δυναμικών συστημάτων με κρυφούς ελκυστές. Στο πρώτο μέρος της διατριβής, επικεντρωνόμαστε στην κατασκευή νέων συστημάτων με ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας, χωρίς σημεία ισορροπίας ή με άπειρα σημεία ισορροπίας. Όλα τα συστήματα μελετώνται με τη χρήση αριθμητικών εργαλείων όπως είναι τα διαγράμματα διακλάδωσης, τα πορτραίτα φάσεως, οι λεκάνες έλξης, οι εκθέτες Lyapunov, το Φάσμα Ισχύος Διακριτών Μετασχηματισμών Fourier και τα διαγράμματα ευαισθησίας ως προς τις αρχικές συνθήκες. Επίσης, μια εις βάθος αναλυτική μελέτη των συστημάτων επιχειρείται, όποτε αυτό είναι δυνατό. Όσο αφορά στα συστήματα με ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας (Κεφάλαιο 2), παρουσιάζουμε μια μέθοδο κατασκευής μιας οικογένειας τρισδιάστατων, τετραδιάστατων και πενταδιάστατων χαοτικών συστημάτων τα οποία χαρακτηρίζονται από την εμφάνιση διακλαδώσεων Hopf. Αξιοποιώντας τη μέθοδο του Y.A. Kuznetzov μελετάμε τη διακλάδωση Hopf, καθώς και την ευστάθεια των μικρών οριακών κύκλων που εμφανίζονται λόγω της διακλάδωσης. Επίσης, στο τελευταίο μέρος του Κεφαλαίου 2 γίνεται η διερεύνηση, τόσο αναλυτικά όσο και αριθμητικά, ενός τετραδιάστατου Χαμιλτονιανού συστήματος με μια μη-Χαμιλτονιανή διαταραχή, το οποίο χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη αυτο-διεγερμένων (self-excited) και κρυφών ελκυστών. Στο τρίτο κεφάλαιο κατασκευάζουμε νέα συστήματα, χωρίς σημεία ισορροπίας, τα οποία προήλθαν από εκτενή τροποποίηση γνωστών συστημάτων με κρυφούς ελκυστές. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια πληθώρα πρωτότυπων και τροποποιημένων συστημάτων με άπειρα σημεία ισορροπίας, τα οποία βρίσκονται πάνω σε καμπύλες. Στο Κεφάλαιο 5, αναπτύσσουμε έναν αλγόριθμο υπολογισμού των ειδικών καμπυλών , κατά μήκος των οποίων η επιτάχυνση ενός δυναμικού συστήματος είναι ανάλογη της ταχύτητάς του (connecting curves). Στη συνέχεια, οι καμπύλες αυτές παρουσιάζονται σε τρισδιάστατες προβολές, για διάφορες περιπτώσεις συστημάτων με κρυφούς ελκυστές. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής, το οποίο παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 6, αξιοποιούμε τα συστήματα των προηγούμενων κεφαλαίων για να αναπτύξουμε γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών, των οποίων η αξιοπιστία ελέγχεται με το στατιστικό πρόγραμμα NIST 800-22. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τις γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών για να κρυπτογραφήσουμε εικόνες. Οι διάφορες μέθοδοι κρυπτογράφησης ελέγχονται και αποδεικνύονται ανθεκτικές ενάντια σε διάφορους τύπους επιθέσεων (statistical and differential attacks). Τέλος, στο Κεφάλαιο 7 συνοψίζονται τα αποτελέσματα της έρευνάς μας.