Nonlinear propagation in networks of acoustic waveguides

Abstract

This thesis explores nonlinear wave propagation in airborne acoustic metamaterials and networks of acoustic waveguides. The objective of this work is to combine theoretical modelling, numerical simulations, and experimental investigations to uncover the mechanisms governing linear and nonlinear sound propagation in engineered acoustic structures. Building on previous and new results in one-dimensional configurations, this thesis demonstrates how dispersion due to network geometry or the resonant character of the scatterrers, combined with the intrinsic nonlinearity of air, enables the emergence and control of localised nonlinear waves such as acoustic solitons. First, the formation and propagation of solitons in a one-dimensional periodic acoustic waveguide is studied. High-amplitude acoustic pulses are launched into a waveguide with periodically varying cross-section, revealing the existence of solitary wave behaviour even in the presence of significant nonlinear losses. These losses originate mainly from vortex shedding at the geometric discontinuities of the structure. Experimental and numerical results show that the observed solitary waves preserve the essential features predicted by a Boussinesq-type model, with quantitative deviations attributed to nonlinear attenuation. The previous study is extended to two-dimensional nonlinear wave dynamics by exploring acoustic ring solitons in square acoustic networks. In the 2D square lattice, the dispersive properties are strongly anisotropic at low frequencies, preventing the existence of radially symmetric wave solutions. To overcome this limitation, Helmholtz resonators are incorporated into the lattice, effectively suppressing dispersion anisotropy and restoring near-isotropic behaviour in the long-wavelength regime, as confirmed by numerical simulations. The propagation of radially symmetric waves, in both the linear and nonlinear regimes, is accurately described by reduced models of the cKdV type (cylindrical Korteweg–de Vries equation). Next, specific focus is given to the anisotropic nonlinear wave propagation in the square acoustic network without resonators. Cylindrical wave solutions are considered, revealing that different propagation directions support distinct nonlinear solutions. Depending on the angle, the network can sustain either solitary waves or shock-like waves, as well as anisotropic cylindrical waveforms whose profiles range from sharp fronts to smooth, soliton-like shapes. Finally, this thesis concludes by summarising the main results and highlighting the essential contributions of this work. It also presents ongoing studies and several future research directions, considered both from theoretical and experimental perspectives, with the aim of further exploring the effect of dispersion and nonlinearity on the propagation in structured acoustic networks.

Το αντικείμενο της διατριβής αφορά στη μελέτη κυματικής διάδοσης σε ακουστικά δίκτυακυματοδηγών. Η εργασία συνδύασε θεωρητική ανάλυση, αριθμητική προσομοίωση και εκτενή πειραματική διερεύνηση, οδηγώντας στην ανάπτυξη προσεγγιστικών μοντέλων για τη διάδοση ακουστικών χαμηλού και υψηλού πλάτους κυμάτων σε μονοδιάστατα και δισδιάστατα πλέγματα. Συνολικά, η διατριβή προσφέρει μια ολοκληρωμένη, πολυεπίπεδη προσέγγιση στη μελέτη σύνθετων ακουστικών συστημάτων, συμβάλλοντας στην κατανόηση και τον σχεδιασμό νέων λειτουργικών ακουστικών μεταϋλικών και κυματοδηγών. Η διατριβή οργανώνεται ως εξής. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια σύντομη αναδρομή στα μεταϋλικά με έμφαση στις εφαρμογές στην ακουστική και τη σημασία της μη γραμμικότητας. Στη συνέχεια γίνεται μια ανασκόπηση των συναφών μη γραμμικών μοντέλων και λύσεων (ωστικά κύματα και σολιτόνια) που απαντώνται στη διατριβή. Τέλος, περιγράφεται η δομή της διατριβής, αναλύονται συνοπτικά οι σκοποί της και παρουσιάζονται τα κυριότερα αποτελέσματα της. Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζεται η διασπορά σε μονοδιάστατα και διδιάστατα (2D) δίκτυα ακουστικών κυματοδηγών. Η γραμμική διάδοση μελετάται πειραματικά σε ένα ακουστικό κυματοδηγό με περιοδική αλλαγή διατομής, και σε τετραγωνικό δίκτυο κυματοδηγών. Τα πειραματικά αποτελέσματα συγκρίνονται με αναλυτικά μοντέλα —που βασίζονται στη μέθοδο του πίνακα μεταφοράς, όπως και σε προσομοιώσεις πεπερασμένων στοιχείων— και βρίσκεται εξαιρετική συμφωνία μεταξύ των δύο. Στη συνέχεια μελετάται η ενσωμάτωση αντηχείων Helmholtz στο 2D πλέγμα, η οποία επιτρέπει την ελεγχόμενη τροποποίηση των χαρακτηριστικών της διασποράς και απαλείφει την ανισοτροπική συμπεριφορά στο όριο των μακρών κυμάτων. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάται —πειραματικά, αναλυτικά και αριθμητικά— η δημιουργία και διάδοση σολιτονίων σε μονοδιάστατο περιοδικό κυματοδηγό. Πειραματικοί παλμοί υψηλού πλάτους οργανώνονται σε σολιτονικά κύματα, παρά τις ισχυρές μη γραμμικές απώλειες που προέρχονται κυρίως από τη δημιουργία στροβίλων στις γεωμετρικές ασυνέχειες. Πειραματικές μετρήσεις και αριθμητικές προσομοιώσεις δείχνουν ότι τα παρατηρούμενα σολιτονικά κύματα διατηρούν τα βασικά χαρακτηριστικά των σολιτονίων της εξίσωσης Boussinesq, με αποκλίσεις που αποδίδονται στη μη γραμμική απόσβεση. Για την ακριβή περιγραφή αυτής της συμπεριφοράς αναπτύσσεται ένα αριθμητικό σχήμα βασισμένο στο ηλεκτροακουστικό ανάλογο, το οποίο αναπαράγει μευψηλή ακρίβεια τα πειραματικά ευρήματα και επιτρέπει τη διερεύνηση της αλληλεπίδρασης μη γραμμικότητας, διασποράς και απωλειών. Στο Κεφάλαιο 4 η παραπάνω μελέτη επεκτείνεται στη διδιάστατη γραμμική και μη γραμμική δυναμική, αναδεικνύοντας την ύπαρξη γραμμικών αυτοόμοιων λύσεων, καθώς και ακουστικών σολιτονίων, σχήματος δακτυλίου (που ονομάζονται και «κυλινδρικά σολιτόνια») σε τετραγωνικά δίκτυα. Οι λύσεις αυτές δεν υπάρχουν απουσία των αντηχείων Helmholtz λόγω της ανισοτροπίας της διασποράς του δισδιάστατου πλέγματος στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων. Η ενσωμάτωση αντηχείων Helmholtz εξαλείφει αυτή την ανισοτροπία, αποκαθιστώντας σχεδόν ισοτροπική συμπεριφορά, και επιτρέποντας τη διάδοση κυλινδρικών κυμάτων τόσο χαμηλού όσο και υψηλού πλάτους. Αριθμητικές προσομοιώσεις επιβεβαιώνουν ότι τέτοια δίκτυα μπορούν να υποστηρίξουν ισοτροπικά γραμμικά αλλά και μη γραμμικά κυλινδρικά κύματα. Στο Κεφάλαιο 5 εξετάζεται η ανισοτροπική διάδοση στο τετραγωνικό πλέγμα χωρίς αντηχεία Helmholtz. Αναπτύσσεται ένα νέο αναλυτικό πλαίσιο, το οποίο συνδυάζει το ηλεκτροακουστικό ανάλογο με τη μέθοδο πινάκων μεταφοράς, για την περιγραφή της διασποράς και των μηγραμμικών φαινομένων. Η ανάλυση των κυλινδρικών λύσεων δείχνει ότι διαφορετικές κατευθύνσεις διάδοσης μπορούν να υποστηρίξουν σολιτονικά κύματα, οιονεί ωστικά κύματα, ή ενδιάμεσες μορφές, ανάλογα με τη γωνία διάδοσης. Οι προβλέψεις αυτές επιβεβαιώνονται μέσω της επίλυσης της δισδιάστατης εξίσωσης Westervelt, αναδεικνύοντας την ισχυρή ανισοτροπική συμπεριφορά της δυναμικής των γραμμικών και μη γραμμικών κυμάτων στο πλέγμα.Το κείμενο της διατριβής ολοκληρώνεται με το Κεφάλαιο 6, όπου συνοψίζονται τα κύρια ευρήματα και οι βασικές συνεισφορές της, και παρουσιάζονται μελλοντικές ερευνητικές κατευθύνσεις. Αυτές περιλαμβάνουν την πειραματική υλοποίηση δισδιάστατων μη γραμμικών ακουστικών δικτύων, τη διερεύνηση των μη γραμμικών φαινομένων, καθώς και τον σχεδιασμό προσαρμοστικών ή ρυθμιζόμενων δομών για προηγμένο έλεγχο της κυματικής διάδοσης. Οι προοπτικές αυτές αφορούν στην κατανόηση και αξιοποίηση των μη γραμμικών φαινομένων της ακουστικής σε πολύπλοκα δομημένα μέσα.