Contribution to the numerical solution of hyperbolic conservation laws with applications in Computational Fluid Dynamics

Abstract

High-order Discontinuous Galerkin (DG) numerical methods offer increased accuracy for the numerical solution of hyperbolic conservation laws; however, in the presence of discontinuities they may exhibit non-physical oscillations and numerical instabilities, making the use of limiting mechanisms essential. This doctoral dissertation focuses on the development and integration of a novel troubled-cell indicator (TCI) for high-order (DG) methods, with particular emphasis on the ADER-DG framework on unstructured triangular meshes. In modern a posteriori limiting strategies, the troubled-cell indicator plays a central role by deciding whether an element retains the unlimited high-order solution or is recomputed using a more robust scheme. Classical TCI approaches are often based on problem-dependent heuristics, adjustable thresholds, or geometric assumptions, which can reduce the robustness and generalization capability of a computational method. This limitation becomes particularly pronounced on unstructured meshes, where the same local solution pattern may appear under different element orientations. To address these shortcomings, this dissertation introduces a novel machine-learning-based troubled-cell indicator that enforces geometric symmetry directly at the architectural level. The proposed indicator, termed SCNN-TCI, is based on a symmetry-aware Siamese Convolutional Neural Network designed to be invariant with respect to rotations and reflections of the reference triangle. This design ensures that physically equivalent local configurations lead to consistent decisions, independently of the local mesh orientation. The SCNN-TCI is embedded into an ADER-DG solver within an a posteriori limiting loop, in combination with a conservative flux-correction mechanism based on the mortar method and a subcell finite-volume scheme applied to troubled elements. This approach introduces additional numerical dissipation only where necessary, while preserving the high-order accuracy of the ADER-DG method in smooth regions. Numerical experiments on analytical test functions, as well as benchmark problems for the two-dimensional Burgers and Euler equations, demonstrate the effectiveness, stability, and geometric consistency of the proposed indicator. Overall, this dissertation presents a robust and interpretable approach for the detection of discontinuities on unstructured meshes, enhancing the reliability and generalization of high-order computations in complex flow problems such as those described by hyperbolic conservation laws.

Οι μέθοδοι υψηλής τάξης ακρίβειας προσφέρουν αυξημένη ακρίβεια στην αριθμητική επίλυση υπερβολικών νόμων διατήρησης, ωστόσο η παρουσία ασυνεχειών μπορεί να οδηγήσει σε μη φυσικές ταλαντώσεις και αριθμητική αστάθεια, καθιστώντας αναγκαία τη χρήση μηχανισμών περιορισμού. Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την ανάπτυξη και ενσωμάτωση ενός νέου δείκτη προβληματικών υπολογιστικών κελιών (troubled-cell indicator, TCI) για Ασυνεχείς Μεθόδους Galerkin (Discontinuous Galerkin-DG) υψηλής τάξης, και ειδικότερα για το πλαίσιο ADER-DG σε μη δομημένα τριγωνικά πλέγματα. Στις σύγχρονες a posteriori τεχνικές περιορισμού, κεντρικό ρόλο διαδραματίζει ο δείκτης προβληματικών κελιών, ο οποίος αποφασίζει εάν ένα στοιχείο θα διατηρήσει τη μη οριοθετημένη λύση υψηλής τάξης ή θα επανυπολογιστεί με έναν πιο εύρωστο μηχανισμό. Ωστόσο, οι κλασικοί δείκτες TCI βασίζονται συχνά σε ευριστικές εξαρτώμενες από το εκάστοτε πρόβλημα, σε προσαρμόσιμα όρια ή σε γεωμετρικές παραδοχές, γεγονός που μπορεί να περιορίσει την ευρωστία και τη γενίκευση μιας υπολογιστικής μεθόδου. Το πρόβλημα αυτό γίνεται ιδιαίτερα έντονο σε μη δομημένα πλέγματα, όπου το ίδιο τοπικό πρότυπο λύσης μπορεί να εμφανίζεται υπό διαφορετικούς προσανατολισμούς των στοιχείων. Για την αντιμετώπιση αυτών των περιορισμών, στη διατριβή αναπτύσσεται ένας καινοτόμος δείκτης προβληματικών κελιών βασισμένος στη μηχανική μάθηση, ο οποίος επιβάλλει γεωμετρική συμμετρία απευθείας σε επίπεδο αρχιτεκτονικής. Ο προτεινόμενος δείκτης, SCNN-TCI, βασίζεται σε ένα συμμετρικά ενήμερο Siamese Συνελικτικό Νευρωνικό Δίκτυο (SCNN), σχεδιασμένο ώστε να είναι αναλλοίωτο ως προς τις περιστροφές και τις ανακλάσεις του τριγώνου αναφοράς. Με τον τρόπο αυτό διασφαλίζεται, ότι φυσικά ισοδύναμες τοπικές διαμορφώσεις οδηγούν σε συνεπείς αποφάσεις, ανεξάρτητα από τον τοπικό προσανατολισμό του πλέγματος. Ο SCNN-TCI ενσωματώνεται σε έναν επιλυτή ADER-DG στο πλαίσιο ενός a posteriori βρόχου περιορισμού, σε συνδυασμό με συντηρητική διόρθωση ροών μέσω της μεθόδου των mortar στοιχείων και υποκυψελιδικό σχήμα πεπερασμένων όγκων για τα προβληματικά κελιά. Η προσέγγιση αυτή εισάγει πρόσθετη αριθμητική διάχυση μόνο όπου είναι απαραίτητο, διατηρώντας την υψηλή τάξη ακρίβειας στις ομαλές περιοχές. Αριθμητικά πειράματα σε αναλυτικές συναρτήσεις και σε προβλήματα αναφοράς των δισδιάστατων εξισώσεων Burgers και Euler επιβεβαιώνουν την αποτελεσματικότητα, τη σταθερότητα και τη γεωμετρική συνέπεια του προτεινόμενου δείκτη. Συνολικά, η διατριβή εισάγει μια εύρωστη και ερμηνεύσιμη προσέγγιση για την ανίχνευση ασυνεχειών σε μη δομημένα πλέγματα, ενισχύοντας την αξιοπιστία και τη γενίκευση υπολογισμών υψηλής τάξης σε σύνθετα προβλήματα ροών όπως αυτά περιγράφονται από υπερβολικούς νόμους διατήρησης.