Markov-type and plat equivalences for framed knots, knotoids and framed knotoids

Abstract

In the present thesis, we study generalizations of some well known works in the fields of knot theory and braid theory. Namely, we present a framed analog of the L-move theorem for links by Lambropoulou and Rourke in 1997. We define framed Hilden groups as an extension of the Hilden groups defined by Hilden in 1975 and use them to present a framed analog of the plat representation theorem for links by Birman in 1976. We then, turn our attention to knotoids defined by Turaev in 2011 and braidoids defined by Gügümcü and Lambropoulou in 2021. We extend the L-move theorem for knotoids in the plane to apply for knotoids in sphere, we define the platoid representation for knotoids as an analog of the plat representation of links and prove an analog of the Birman theorem for knotoids. Finally, we define framed braidoids and prove that framed knotoids, as defined by Moltmaker in 2021, can be represented as the standard and plat closure of framed braidoids.

Στην παρούσα διατριβή, μελετάμε γενικεύσεις ορισμένων γνωστών αποτελσμάτων στους τομείς της θεωρίας κόμβων και της θεωρίας πλεξίδων. Συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε ένα πλαισιωμένο ανάλογο του θεωρήματος L-ισοδυναμίας για κρίκους των Lambropoulou και Rourke από το 1997. Ορίζουμε τις πλαισιωμένες ομάδες Hilden ως επέκταση των ομάδων Hilden που ορίστηκαν από τον Hilden το 1975 και τις χρησιμοποιούμε για να παρουσιάσουμε ένα πλαισιωμένο ανάλογο του θεωρήματος plat αναπαράστασης για κρίκους της Birman από το 1976. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας στα κομβοειδή που ορίστηκαν από τον Turaev το 2011 και στα πλεξιδοειδή που ορίστηκαν από τις Gügümcü και Lambropoulou το 2021. Επεκτείνουμε το θεώρημα L-ισοδυναμίας για κομβοειδή στο επίπεδο ώστε να εφαρμόζεται σε κομβοειδή στη σφαίρα, ορίζουμε την platoid αναπαράσταση για κομβοειδή ως ανάλογο της plat αναπαράστασης για κρίκους και αποδεικνύουμε ένα ανάλογο του θεωρήματος της Birman για κομβοειδή. Τέλος, ορίζουμε τα πλαισιωμένα πλεξιδοειδή και αποδεικνύουμε ότι τα πλαισιωμένα κομβοειδή, όπως ορίστηκαν από τον Moltmaker το 2021, μπορούν να αναπαρασταθούν ως το standard κλείσιμο και το plat κλείσιμο plat πλαισιωμένων πλεξιδεοειδών.