Deformations of ideals in Lie algebroids

Abstract

In this dissertation, we address the deformation problem of ideals in Lie algebras and its generalization(s) in the context of Lie algebroids. Lie ideals lie at the heart of the representation theory of Lie algebras, as well as their classification theory. The upshot of deformation theory, as the infinitesimal study of moduli spaces, is to better understand the local geometry of the space of algebro-geometric objects of a specific kind. We attach to every Lie ideal a differential graded Lie algebra such that its Maurer-Cartan elements are in one-to-one correspondence with the (small) deformations of the ideal. Furthermore, we investigate how this theory is related to other well-known deformation theories, and, in addition, we attach to each Lie ideal an L∞-algebra that controls the deformations of both the ideal and the ambient Lie bracket simultaneously. Under appropriate assumptions regarding the low levelsof the deformation cohomology of a Lie ideal, we obtain (topological) rigidity and stability results. By translating the main technique used to solve the deformation problem of a Lie ideal inside a Lie algebra into differential graded geometric terms, we pave the way towards a generalization of this theory to bundles of Lie ideals within Lie algebroids. Finally, given that the most general (and appropriate) notion of an ideal in a Lie algebroid is equivalent to that of a double Lie subalgebroid of its tangent double bundle, we discuss the corresponding deformation problem, explain the necessary ingredients to tackle it, and describe the progress that has been made thus far.

Στη διατριβή αυτή, εξετάζουμε το πρόβλημα παραμόρφωσης ιδεωδών σε άλγεβρες Lie και τις γενικεύσεις του στο πλαίσιο των αλγεβροειδών Lie. Τα ιδεώδη Lie βρίσκονται στον πυρήνα της θεωρίας αναπαραστάσεων των αλγεβρών Lie, καθώς και της θεωρίας ταξινόμησής τους. Το κύριο αποτέλεσμα της θεωρίας παραμορφώσεων, ως απειροστικής μελέτης των χώρων moduli, είναι η καλύτερη κατανόηση της τοπικής γεωμετρίας του χώρου αλγεβρογεωμετρικών αντικειμένων συγκεκριμένου τύπου. Σε κάθε ιδεώδες Lie αντιστοιχίζουμε μία διαφορική βαθμωτή άλγεβρα Lie, της οποίας τα στοιχεία Maurer–Cartan βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τις (μικρές) παραμορφώσεις του ιδεώδους. Επιπλέον, διερευνούμε τη σχέση της θεωρίας αυτής με άλλες γνωστές θεωρίες παραμορφώσεων και, ακόμη, αντιστοιχίζουμε σε κάθε ιδεώδες Lie μία L-άπειρο άλγεβρα που ελέγχει ταυτόχρονα τις παραμορφώσεις τόσο του ιδεώδους όσο και της περιβάλλουσας Lie αγκύλης. Υπό κατάλληλες υποθέσεις σχετικά με τα χαμηλά επίπεδα της συνομολογίας παραμόρφωσης ενός ιδεώδους Lie, αποδεικνύουμε αποτελέσματα (τοπολογικής) ακαμψίας και σταθερότητας. Μεταφράζοντας την κύρια τεχνική που χρησιμοποιείται για την επίλυση του προβλήματος παραμόρφωσης ενός ιδεώδους Lie μέσα σε μία άλγεβρα Lie σε όρους διαφορικής βαθμωτής γεωμετρίας, ανοίγουμε τον δρόμο για τη γενίκευση της θεωρίας αυτής σε δεσμίδες ιδεωδών Lie μέσα σε αλγεβροειδή Lie. Τέλος, δεδομένου ότι η γενικότερη (και καταλληλότερη) έννοια ιδεώδους σε ένα αλγεβροειδές Lie είναι ισοδύναμη με εκείνη ενός διπλού υποαλγεβροειδούς Lie του εφαπτομενικού διπλού δεσμού του, συζητούμε το αντίστοιχο πρόβλημα παραμόρφωσης, παρουσιάζουμε τα απαραίτητα εργαλεία για την αντιμετώπισή του και περιγράφουμε την πρόοδο που έχει επιτευχθεί μέχρι σήμερα.