Topological and conformal interfaces in two-dimensional quantum field theories

Abstract

We study conformal boundary conditions, topological defects as well as various concepts related to their presence in two-dimensional Rational Conformal Field Theories (RCFTs). In this situation, one new concept for example is a topological defect line with one of its ends attached to a boundary. Such junctions are called open topological defects. The first goal of this thesis is to consider new fusing matrices that arise from the existence of such junctions in our theory. For instance, one type of fusing matrices is related to the fusion of two open defects while another arises when an open defect junction passes through a boundary operator. The former appears in the structure constants of an associative algebra known as the boundary tube algebra while the latter plays an important role in constraining boundary Renormalisation Group (RG) flows triggered by that boundary operator. We use the Topological Field Theory (TFT) approach to RCFTs based on Frobenius algebra objects in Modular Tensor Categories (MTCs) to describe the general structure associated with such matrices and how to compute them from a given MTC, Frobenius algebra object and its representation theory. We illustrate the computational process on the rational free boson theories where we also discuss applications to boundary RG flows. Our second goal, motivated by applications in RG flows, is to classify pairs consisting of a local operator and a topological defect which commutes or anticommutes with it. We discuss both bulk and boundary versions of the problem. In the case of the charge conjugation modular invariant (anti-)commuting configurations in each problem can be obtained when a certain condition on the fusion rules is realised. We study the corresponding fusion rule problems in detail. While in the bulk case it reduces to realising the a × b = c fusion rule which was studied by Buican M., Li L., Radhakrishnan R, in the boundary it leads to a new type of problem. We obtain a full solution to this problem for the SU(2) and SU(3) Wess–Zumino–Witten (WZW) models and minimal models. We present a way to obtain solutions in the case of general WZW models using simple currents.

Μελετούμε σύμμορφες συνοριακές συνθήκες, τοπολογικά ελαττώματα καθώς και διάφορες έννοιες που σχετίζονται με την παρουσία τους σε δισδιάστατες ρητές σύμμορφες θεωρίες πεδίου. Σε αυτό το πλαίσιο, μια νέα έννοια είναι, για παράδειγμα, μια τοπολογική γραμμή ελαττώματος της οποίας το ένα άκρο είναι προσαρτημένο σε ένα σύνορο. Τέτοιες συνδέσεις ονομάζονται ανοικτά τοπολογικά ελαττώματα. Ο πρώτος στόχος αυτής της διατριβής είναι η μελέτη νέων πινάκων σύζευξης που προκύπτουν από την ύπαρξη τέτοιων συνδέσεων στη θεωρία μας. Για παράδειγμα, ένας τύπος πινάκων σύζευξης σχετίζεται με τη σύζευξη δύο ανοικτών ελαττωμάτων, ενώ ένας άλλος προκύπτει όταν μια σύνδεση ανοικτού ελαττώματος διέρχεται μέσω ενός συνοριακού τελεστή. Ο πρώτος εμφανίζεται στις σταθερές δομής μιας προσεταιριστικής άλγεβρας γνωστής ως άλγεβρα σωλήνων συνόρου, ενώ ο δεύτερος παίζει σημαντικό ρόλο στον περιορισμό των συνοριακών ροών ομάδας επανακανονικοποίησης, οι οποίες διεγείρονται από τον προαναφερόμενο συνοριακό τελεστή. Χρησιμοποιούμε την προσέγγιση της τοπολογικής θεωρίας πεδίου στις ρητές σύμμορφες θεωρίες πεδίου, βασισμένη σε αντικείμενα άλγεβρας Frobenius μέσα σε αρθρωτές τανυστικές κατηγορίες, για να περιγράψουμε τη γενική δομή που σχετίζεται με τέτοιους πίνακες και τον τρόπο υπολογισμού τους από μια δεδομένη κατηγορία, ένα αντικείμενο άλγεβρας Frobenius και τη θεωρία των αναπαραστάσεών του. Εικονογραφούμε τη διαδικασία υπολογισμού στις ρητές θεωρίες του ελεύθερου μποζονίου, όπου συζητούμε επίσης εφαρμογές στις συνοριακές ροές ομάδας επανακανονικοποίησης. Ο δεύτερος στόχος μας, ο οποίος υποκινείται από εφαρμογές στις ροές ομάδας επανακανονικοποίησης, είναι η ταξινόμηση ζευγών που αποτελούνται από έναν τοπικό τελεστή και ένα τοπολογικό ελάττωμα τα οποία είτε μετατίθενται είτε αντιμετατίθενται μεταξύ τους. Συζητούμε τόσο την εσωτερική όσο και τη συνοριακή εκδοχή του προβλήματος. Στην περίπτωση του αρθρωτού αναλλοίωτου της συζυγίας φορτίου, οι (αντι-)μετατιθέμενες διαμορφώσεις σε κάθε πρόβλημα μπορούν να προκύψουν όταν ικανοποιείται μια συγκεκριμένη συνθήκη στους κανόνες σύζευξης. Μελετούμε διεξοδικά τα αντίστοιχα προβλήματα των κανόνων σύντηξης. Ενώ στην περίπτωση της εσωτερικής θεωρίας το πρόβλημα ανάγεται στην πραγματοποίηση του κανόνα σύζευξης a × b = c, ο οποίος μελετήθηκε από τους Buican M., Li L., Radhakrishnan R., στην συνοριακή περίπτωση οδηγεί σε έναν νέο τύπο προβλήματος. Παρέχουμε πλήρη λύση σε αυτό το πρόβλημα για τα μοντέλα Wess–Zumino–Witten των ομάδων SU(2) και SU(3), καθώς και για τα ελάχιστα συμμετρικά σύμμορφα μοντέλα. Παρουσιάζουμε επίσης έναν τρόπο εύρεσης λύσεων στην περίπτωση γενικών μοντέλων Wess–Zumino–Witten με τη χρήση απλών ρευμάτων.