Modeling in computer graphics through visualizable mathematical structures: applications in teaching mathematics

Abstract

In a world dominated by digital information and visual representation, this doctoral dissertation explores the deep and bidirectional relationship between computer graphics and mathematical structures, with a focus on how these structures can be visualized and employed as tools for teaching Mathematics. Since the dawn of computer science, graphics have represented a cutting-edge field—enabling the creation of virtual worlds, the simulation of complex phenomena, and novel ways to interact with data. Behind every realistic image, every three-dimensional model, and every animation lie powerful mathematical tools. The beauty and usefulness of these applications stem from their capacity to transform abstract mathematical concepts into tangible, visual representations. This dissertation does not limit itself to identifying and describing the mathematical principles underlying computer graphics. Rather, it introduces a systematic framework of evaluation criteria to precisely determine which mathematical models—from algebraic and differential manifolds to topological structures—are feasible, computationally viable, and cognitively meaningful to visualize. In this way, the dissertation goes beyond a descriptive catalog of principles and offers an instrumental foundation that enables researchers to determine, clearly and systematically, which mathematical structures are both valuable and possible to transition from theoretical conception to pictorial representation. Over the past two decades, the use of computer graphics has expanded across many domains. The rapid evolution of computer graphics and informatics has inevitably impacted the sensitive field of education. Integrating computer graphics into Mathematics instruction presents a unique opportunity to overcome longstanding challenges in understanding abstract concepts. Through interactive visualizations, students can “see” and “interact” with mathematical structures, experiment with parameters, and uncover relationships that would otherwise remain hidden. This doctoral dissertation successfully bridges the gap between theoretical mathematical knowledge and practical applications in computer graphics by proposing and developing visualizable mathematical structures that serve as teaching tools. It goes beyond theoretical discussion by presenting specific educational scenarios that utilize these structures to enhance the comprehension of challenging mathematical concepts. Selected modeling examples are analyzed, detailing their mathematical foundations and illustrating how they can be translated into interactive, educational applications. In summary, this dissertation addresses: (a) the definition of control criteria for visualizable mathematical structures, and (b) the interdisciplinary development of a new framework for understanding and teaching Mathematics through the power of computer graphics—aiming to transform the way students perceive and engage with abstract mathematical ideas.

Σε έναν κόσμο όπου η ψηφιακή πληροφορία και η οπτική αναπαράσταση κυριαρχούν, η παρούσα διδακτορική διατριβή εξερευνά τη βαθιά και αμφίδρομη σχέση μεταξύ των γραφικών υπολογιστή και των μαθηματικών δομών, εστιάζοντας στον τρόπο με τον οποίο αυτές οι δομές μπορούν να οπτικοποιηθούν και να αξιοποιηθούν ως εργαλείο για την διδασκαλία των Μαθηματικών. Από την αυγή της επιστήμης των υπολογιστών, τα γραφικά αποτελούν ένα πεδίο αιχμής, επιτρέποντας τη δημιουργία εικονικών κόσμων, την προσομοίωση πολύπλοκων φαινομένων και την αλληλεπίδραση με δεδομένα με πρωτοφανείς τρόπους. Πίσω από κάθε ρεαλιστική εικόνα, κάθε τρισδιάστατο μοντέλο και κάθε κινούμενο σχέδιο, κρύβονται ισχυρά μαθηματικά εργαλεία. Η ομορφιά και η χρησιμότητα αυτών των εφαρμογών έγκειται στην ικανότητά τους να μετατρέπουν αφηρημένες μαθηματικές έννοιες σε απτά, οπτικά παραδείγματα. Το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής δεν εξαντλείται στην απλή αναγνώριση και περιγραφή των μαθηματικών αρχών που διέπουν τα γραφικά των υπολογιστών. Αντιθέτως, εισάγει ένα συστηματικό πλαίσιο κριτηρίων αξιολόγησης, μέσω του οποίου προσδιορίζεται με ακρίβεια ποια μαθηματικά μοντέλα, από αλγεβρικές και διαφορικές πολλαπλότητες έως τοπολογικές δομές, είναι εφικτό, υπολογιστικά βιώσιμο και γνωσιακά ουσιαστικό να οπτικοποιηθούν. Συγκεκριμένα, η διατριβή: • Θεμελιώνει θεωρητικά τη σχέση μεταξύ πολυπλοκότητας μιας δομής (π.χ. φρακταλ) και της δυνατότητας αναπαράστασής της σε ψηφιακά γραφικά περιβάλλοντα. • Διατυπώνει μετρήσιμα κριτήρια — όπως κόστος υπολογισμού, ακρίβεια προσέγγισης, απαιτήσεις μνήμης και διαδραστικότητας, ώστε να ελέγχεται η πρακτική δυνατότητα οπτικοποίησης πριν από την υλοποίηση. • Αναπτύσσει μεθοδολογία για την αντιστοίχιση κάθε κλάσης μαθηματικών αντικειμένων (π.χ. συνεχείς καμπύλες) με τον βέλτιστο τύπο γραφικών τεχνικών, λαμβάνοντας υπόψη παιδαγωγικούς και ερευνητικούς στόχους. • Επικυρώνει εμπειρικά το πλαίσιο μέσα από πρωτότυπα παραδείγματα, επιβεβαιώνοντας την ακρίβεια των κριτηρίων και την επεκτασιμότητά τους σε ευρύτερα επιστημονικά πεδία. Με αυτόν τον τρόπο, η διατριβή δεν περιορίζεται σε μια περιγραφική καταγραφή αρχών, αλλά συνεισφέρει ένα εργαλειακό υπόβαθρο που επιτρέπει στους ερευνητές να αποφασίζουν, με σαφή και τεκμηριωμένο τρόπο, ποιες μαθηματικές δομές αξίζει και είναι δυνατό να περάσουν από τη θεωρητική σύλληψη στην εικονογραφική απεικόνιση. Η χρήση των γραφικών υπολογιστών έχει αναπτυχθεί σε πολλές περιοχές την τελευταία εικοσαετία. Επομένως, η ραγδαία εξέλιξη στο χώρο της πληροφορικής και των γραφικών των υπολογιστών δε θα μπορούσε να αφήσει ανεπηρέαστο τον ευαίσθητο χώρο της εκπαίδευσης. Η ενσωμάτωση των γραφικών υπολογιστή στη διδακτική των Μαθηματικών προσφέρει μια μοναδική ευκαιρία για την υπέρβαση των παραδοσιακών δυσκολιών στην κατανόηση αφηρημένων εννοιών. Μέσω διαδραστικών οπτικοποιήσεων, οι μαθητές μπορούν να "δουν" και να "αλληλεπιδράσουν" με μαθηματικές δομές, να πειραματιστούν με παραμέτρους και να ανακαλύψουν σχέσεις που διαφορετικά θα παρέμεναν αόρατες. Αυτό όχι μόνο μπορεί να ενισχύει την εις βάθος κατανόηση, αλλά καλλιεργεί επίσης την κριτική σκέψη, την επίλυση προβλημάτων και το ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά. Η παρούσα διδακτορική διατριβή επιτυγχάνει να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ της θεωρητικής μαθηματικής γνώσης και της πρακτικής εφαρμογής στα γραφικά υπολογιστή, προτείνοντας και αναπτύσσοντας οπτικοποιήσιμες μαθηματικές δομές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία διδασκαλίας. Η διατριβή δεν μένει στη θεωρία, αλλά προτείνει συγκεκριμένα εκπαιδευτικά σενάρια που χρησιμοποιούν αυτές τις οπτικοποιήσιμες δομές για την ενίσχυση της κατανόησης δύσκολων εννοιών στα Μαθηματικά. Θα παρουσιαστούν συγκεκριμένα παραδείγματα μοντελοποίησης, αναλύοντας τις μαθηματικές βάσεις τους και παρουσιάζοντας πώς αυτές μπορούν να μεταφραστούν σε διαδραστικές, εκπαιδευτικές εφαρμογές. Η πρωτοτυπία έγκειται στην αξιοποίηση των γραφικών υπολογιστή ως εργαλείου για την εκπαίδευση στα Μαθηματικά. Ενώ υπάρχουν εφαρμογές λογισμικού που χρησιμοποιούν γραφικά για διδακτικούς σκοπούς, η διατριβή αναπτύσσει μια βαθύτερη, θεωρητική και πρακτική σύνδεση πέρα από την απλή οπτικοποίηση, αφού μπορούν να λειτουργήσουν ως διδακτικά παραδείγματα για τις υποκείμενες μαθηματικές αρχές, και την ανάπτυξη εκπαιδευτικών σεναρίων. Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή καλύπτει τις ακόλουθες πτυχές (α) καθορισμός κριτηρίων ελέγχου μαθηματικών δομών που οπτικοποιούνται, (β) διεπιστημονική ανάπτυξη ενός νέου πλαισίου για την κατανόηση και διδασκαλία των Μαθηματικών μέσω της δύναμης των γραφικών υπολογιστή, η οποία φιλοδοξεί να αλλάξει τον τρόπο που οι μαθητές αντιλαμβάνονται και αλληλεπιδρούν με αφηρημένες μαθηματικές έννοιες.