On the variable-growth total variation and related PDEs

Abstract

The research conducted in the present PhD thesis aims to provide insights into the well-posedness theory for partial differential equations related to a class of functionals with generalized Orlicz growth which is allowed to be linear at certain regions of the domain. As a complement to our theoretical analysis, we propose an image denoising model based on a variable-growth total variation regularizer of double-phase type. Furthermore, we present numerical experiments, carried out with a modified version of the Chambolle–Pock algorithm, which demonstrate the effectiveness of our model in improving upon the classical Rudin--Osher--Fatemi approach by reducing the staircasing effect.

Η έρευνα που πραγματοποιήθηκε στην παρούσα διδακτορική διατριβή αποσκοπεί στην παροχή νέων γνώσεων σχετικά με τη θεωρία καλής τοποθέτησης για μερικές διαφορικές εξισώσεις που σχετίζονται με μια κλάση συναρτησιακών με γενικευμένη αύξηση τύπου Orlicz, η οποία επιτρέπεται να είναι γραμμική σε ορισμένες περιοχές του χωρίου. Συμπληρωματικά προς τη θεωρητική ανάλυση, προτείνεται ένα μοντέλο αποθορυβοποίησης εικόνων βασισμένο σε έναν ομαλοποιητή ολικής κύμανσης μεταβλητής αύξησης τύπου διπλής φάσης. Επιπλέον, παρουσιάζονται αριθμητικά πειράματα, τα οποία πραγματοποιήθηκαν με μια τροποποιημένη εκδοχή του αλγορίθμου Chambolle–Pock, τα οποία αποδεικνύουν την αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου μοντέλου στη βελτίωση της κλασικής προσέγγισης Rudin–Osher–Fatemi, μειώνοντας το φαινόμενο της “κλιμάκωσης”.