Space-time discretization methods for nonlinear evolutionary partial differential equations

Abstract

This thesis is devoted to the development and \emph{a priori} error analysis of fully-discrete schemes of arbitrary order for nonlinear degenerate evolution partial differential equations. As a model problem, we consider the parabolic $p$-Laplacian posed on $d$-dimensional flat spatial domains, with $d=1,2,3$, and on $d$-dimensional smooth surfaces, with $d=1,2$.We begin with a fully-discrete scheme, consisting of the discontinuous-in-time Galerkin method and standard conforming finite element methods for the spatial discretization. We prove stability and convergence results, through ``almost'' symmetric error estimates with respect to a quasi-norm, as well as the $L^\infty(I;L^2(\Omega))$-norm, by means of a ``boot-strap" argument for the latter. Numerical experiments are presented to validate the theoretical results.We then turn to the discretization of the elliptic $p$-Laplacian, by means of interior penalty discontinuous Galerkin methods. We prove novel trace-inverse estimates in a quasi-norm, leading to several stability and $hp$-version error estimates, which are validated by numerical experiments. These results are further generalized to discontinuous Galerkin methods on meshes with essentially arbitrarily-shaped polytopic elements. In addition, we combine the analytical frameworks presented in the first chapters to develop and analyze a space-time discontinuous Galerkin method for the parabolic $p$-Laplacian. Stability bounds and space-time $hp$-version error estimates are derived for this method. Numerical results showcase the robustness of the space-time discontinuous Galerkin method. Finally, we conclude the thesis with the discretization of the parabolic $p$-Laplacian posed on smooth surfaces, using the discontinuous Galerkin time-stepping scheme combined with conforming finite elements in space. We prove several stability and convergence results, similar to those obtained for the corresponding flat-domain problem.

Η παρούσα διατριβή είναι αφιερωμένη στην ανάπτυξη και \emph{εκ των προτέρων} ανάλυση σφάλματος πλήρως διακριτών σχημάτων αυθαίρετης τάξης για μη-γραμμικές εξελικτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις εκφυλιστικού τύπου. Ως πρότυπο πρόβλημα, θεωρούμε την παραβολική $p$-Λαπλασιανή σε $d$-διάστατα επίπεδα χωρία, με $d=1,2,3$, καθώς και σε $d$-διάστατες ομαλές επιφάνειες, με $d=1,2$. Ξεκινάμε με ένα πλήρως διακριτό σχήμα, το οποίο αποτελείται από τη χρονικά ασυνεχή μέθοδο Galerkin και κλασικές σύμμορφες μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων για τη χωρική διακριτοποίηση. Αποδεικνύουμε αποτελέσματα ευστάθειας και σύγκλισης, μέσω «σχεδόν» συμμετρικών εκτιμήσεων σφάλματος ως προς μία ψευδονόρμα, καθώς και ως προς την $L^\infty(I;L^2(\Omega))$-νόρμα, με τη βοήθεια ενός επιχειρήματος τύπου ``boot-strap" για τη δεύτερη. Παρουσιάζονται αριθμητικά πειράματα, τα οποία επιβεβαιώνουν τα θεωρητικά αποτελέσματα. Επιπλέον, συνδυάζουμε τα αναλυτικά πλαίσια που παρουσιάζονται στα πρώτα κεφάλαια, ώστε να αναπτύξουμε και να αναλύσουμε μια χωρο-χρονικά ασυνεχή μέθοδο Galerkin για την παραβολική $p$-Λαπλασιανή. Για τη μέθοδο αυτή, αποδεικνύονται άνω φράγματα ευστάθειας και χωρο-χρονικές εκτιμήσεις σφάλματος $hp$-μορφής. Τα αριθμητικά αποτελέσματα αναδεικνύουν την αποδοτικότητα της χωρο-χρονικά ασυνεχούς μεθόδου Galerkin. Τέλος, ολοκληρώνουμε τη διατριβή με τη διακριτοποίηση της παραβολικής $p$-Λαπλασιανής σε ομαλές επιφάνειες, χρησιμοποιώντας την ασυνεχή μέθοδο Galerkin χρονικού βηματισμού, σε συνδυασμό με σύμμορφα πεπερασμένα στοιχεία στον χώρο. Αποδεικνύουμε διάφορα αποτελέσματα ευστάθειας και σύγκλισης, παρόμοια με εκείνα που προέκυψαν για το αντίστοιχο πρόβλημα σε επίπεδα χωρία.