Σταθεροποίηση συστημάτων που περιγράφονται από μερικές διαφορικές εξισώσεις με συνοριακή ανάδραση

Abstract

We study the stabilization problem of a moving tank which contains a viscous liquid. By considering the acceleration of the tank as the control input, we propose appropriate feedback laws that achieve stabilization of both the state of the liquid and the state of the tank. The motion of the liquid inside the tank is described by the Saint-Venant equations. We extend previous stabilization results in the case where the friction generated by the interaction of the liquid with the walls of the tank is taken into account, and in the case where the surface tension which acts in the interface between the liquid and the air is involved. Both cases are handled separately. The output feedback stabilization problem is also addressed in the case where both friction and surface tension are considered negligible. A complete inverse optimality study is also provided for the linearized system which takes into account both friction and surface tension. In this setting, we construct an appropriate stabilizing feedback law which is optimal for a certain meaningful cost functional.

Μελετούμε το πρόβλημα σταθεροποίησης μιας κινούμενης δεξαμενής που περιέχει ένα ιξώδες υγρό. Θεωρώντας ως είσοδο ελέγχου την επιτάχυνση της δεξαμενής, προτείνουμε κατάλληλους νόμους ανάδρασης οι οποίοι επιτυγχάνουν σταθεροποίηση τόσο της κατάστασης του υγρού όσο και της κατάστασης της δεξαμενής. Επεκτείνουμε γνωστά αποτελέσματα σταθεροποίησης για την περίπτωση όπου λαμβάνονται υπόψη οι τριβές που αναπτύσσονται από την αλληλεπίδραση του υγρού με τα τοιχώματα της δεξαμενής, και για την περίπτωση όπου λαμβάνεται υπόψη η επιφανειακή τάση που δρα στη διεπειφάνεια μεταξύ του υγρού και του αέρα. Οι δύο παραπάνω περιπτώσεις εξετάζονται ξεχωριστά. Μελετούμε επιπλέον το πρόβλημα σταθεροποίησης με ανάδραση εξόδου για την περίπτωση που αγνοούνται πλήρως οι τριβές και η επιφανειακή τάση. Παρέχουμε επιπλέον μία πλήρη μελέτη για το πρόβλημα αντίστροφης βελτιστοποίησης του γραμμικοποιημένου συστήματος το οποίο λαμβάνει υπόψη ταυτόχρονα τις τριβές και την επιφανειακή τάση. Σε αυτό το πλαίσιο, κατασκευάζουμε έναν κατάλληλο σταθεροποιητικό νόμο ανάδρασης, ο οποίος είναι βέλτιστος για ένα συγκεκριμένο συναρτησιακό κόστους.