Aspects of quantum field theory, holography and de Sitter

Abstract

This thesis explores several topics in Euclidean gravitational path integral, holography and quantum field theory. We first examine factorization and continuity properties of fields in the Euclidean gravitational path integral for actions constructed from powers of the Riemann tensor. We find the boundary terms corresponding to the microcanonical ensemble and show that the saddle point approximation to the path integral with a quasilocal energy constraint generally yields a saddle point with discontinuous temperature. Our work shows that the constrained state idea for the Euclidean Schwarzschild-de Sitter (SdS) geometry is robust against at least some types of quantum corrections from heavy fields. As an application of our construction, we compute the entropy of SdS in D = 4 using the BTZ method. We then discuss gravitational back-reaction in the semiclassical treatment of quantum fields near black hole horizons in D dimensions. Motivated by the Cohen-Kaplan-Nelson bound, we construct states that deviate significantly from the Hartle-Hawking state and determine the conditions under which the energy density of theses states have large back-reaction on the background geometry. We find the characteristic energy scale (rs^2 G_N)^(1/D) with rs the Schwarzschild radius of the black hole. Our analysis suggests that well-controlled eective field theory outside the black hole can only account for an entropy that scales as A^((D-2)/2), where A is the area of the black hole horizon in Planck units.Next, we analyze the problem of bubble nucleation in gravitational context. We consider the setting where a true vacuum bubble nucleates inside a false vacuum region. We approximate the spacetimes in the true and false regions as de Sitter spaces in static slicing, with dierent cosmological constants. A novel point aspect of our construction is that we allow the lapse degree of freedom on the bubble to remain unfixed. We derive the Israel junction conditions across the bubble and determine the bubble’s eective action. We confirm that the bubble’s eective action reproduces the junction conditions and use this eective action to analyze bubble nucleation. Within the framework of Anti-de Sitter/Conformal Field Theory (AdS/CFT) correspondence we analyze the recently introduced Weyl-Feerman-Graham (WFG) gauge. In the WFG gauge, both a metric and a Weyl connection are induced at the conformal boundary and conformal geometry is upgraded to Weyl geometry. We present in detail the geometric ingredients of Weyl geometry, such as Weyl-covariant tensors. We study the holographic Weyl anomaly in this context, focusing on its cohomological properties. We compute the Weyl anomaly for 2d, 4d-dimensional boundaries and interestingly find the WFG gauge only trivially modifies the Weyl anomaly cocycle in the FG gauge. Motivated by the WFG gauge we then generalize the ambient metric construction of Feerman-Graham for conformal manifolds to a corresponding construction for Weyl manifolds, referred to as the Weyl-ambient construction. This is achieved by promoting a conformal manifold into a Weyl manifold by assigning a Weyl connection to the principal R+-bundle, realizing a Weyl structure. We then show that the Weyl structure admits a well-defined initial value problem, which determines the Weyl-ambient metric. Through the Weyl-ambient construction, we also investigate Weyl-covariant tensors on the Weyl manifold and explicitly define the extended Weyl-obstruction tensors. The Weyl-ambient construction places the WFG gauge into a solid geometric framework. In the final chapter of this thesis we investigate a recently discovered connection between certain L-loop conformal ladder graphs and thermal expectation values of a U(1) charge of a free massive complex scalar φ(x) in d= 2L+1 dimensions. We broaden this correspondence by showing that the the free energy itself corresponds to a certain L-loop conformal ladder graph which evaluates a certain four-point function of the singular two-dimensional conformal fishnet model of Kazakov and Olivucci. Thermal partition functions oer a novel new perspective on conformal graphs. As an application of this point of view we reproduce the resummation of an infinite number of loop diagrams through the language of thermal partition functions.

Η παρούσα διατριβή διερευνά θέματα που αφορούν το Ευκλείδειο βαρυτικό ολοκλήρωμα τροχιάς (Euclidean gravitational path integral), τη θεωρία Ολογραφίας (holography) και τη Kβαντική θεωρία πεδίου (quantum field theory). Αρχικά, εξετάζουμε ιδιότητες παραγοντοποίησης (factorization) και συνέχειας των πεδίων στο Ευκλείδειο βαρυτικό ολοκλήρωμα τροχιάς για δράσεις που κατασκευάζονται από δυνάμεις του τανυστή Riemann. Προσδιορίζουμε τους οριακούς όρους (boundary terms) που αντιστοιχούν στο μικροκανονικό σύνολο (microcanonical ensemble) και δείχνουμε ότι η προσέγγιση σημείου σέλλας (saddle point approximation) του ολοκληρώματος τροχιάς με συνθήκη ημι-τοπικής ενέργειας (quasilocal energy constraint) γενικά οδηγεί σε σημείο σέλλας με ασυνεχή θερμοκρασία. Η έρευνά μας δείχνει ότι η ιδέα της περιορισμένης κατάστασης (constrained state) για τη γεωμετρία Schwarzschild–de Sitter (SdS) είναι ανθεκτική τουλάχιστον σε ορισμένες μορφές κβαντικών διορθώσεων από βαριά πεδία. Ως εφαρμογή της κατασκευής μας, υπολογίζουμε την εντροπία του SdS σε D = 4 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο BTZ. Στη συνέχεια, συζητούμε τη βαρυτική ανάδραση (gravitational back-reaction) στην ημικλασική (semiclassical) προσέγγιση κβαντικών πεδίων κοντά σε ορίζοντες μαύρων οπών σε D διαστάσεις. Εμπνευσμένοι από το όριο Cohen-Kaplan-Nelson, κατασκευάζουμε κβαντικές καταστάσεις που αποκλίνουν σημαντικά από την κατάσταση Hartle-Hawking και προσδιορίζουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η ενεργειακή πυκνότητα αυτών των καταστάσεων προκαλεί ισχυρή ανάδραση στη γεωμετρία υποβάθρου. Βρίσκουμε τη χαρακτηριστική ενεργειακή κλίμακα (rs^2 G_N)^(1/D), όπου rs είναι η ακτίνα Schwarzschild της μαύρης τρύπας. Η ανάλυσή μας υποδηλώνει ότι μια καλά ελεγχόμενη θεωρία πεδίου εκτός της μαύρης τρύπας μπορεί να εξηγήσει μονο εντροπία που κλιμακώνεται ως A^((D-2)/2), όπου A είναι το εμβαδόν του ορίζοντα της μαύρης τρύπας σε μονάδες Planck. Στη συνέχεια, αναλύουμε το πρόβλημα της δημιουργίας φυσαλίδων (bubble nucleation) στη βαρύτητα. Εξετάζουμε τη κατάσταση όπου μια φυσαλίδα αληθούς κενού (true vacuum bubble) δημιουργείτε εντός μιας περιοχής ψευδούς κενού (false vacuum region). Προσεγγίζουμε τις χωροχρονικές περιοχές του αληθούς και ψευδούς κενού ως χώρους de Sitter σε στατικό σύστημα συντενταγμένων (static slicing), με διαφορετικές κοσμολογικές σταθερές. Ένα νέο στοιχείο της κατασκευής μας είναι ότι επιτρέπουμε ο βαθμός ελευθερίας lapse πάνω στη φυσαλίδα να παραμένει ελεύθερος. Προσδιορίζουμε τις συνθήκες Israel (Israel junction conditions) κατα μήκος της φυσαλίδας και βρίσκουμε τη δράση (effective action) της φυσαλίδας. Επιβεβαιώνουμε ότι η δράση της φυσαλίδας αναπαράγει τις συνθήκες Israel και τη χρησιμοποιούμε για να μελετήσουμε την δημιουργία της φυσαλίδας. Στο πλαίσιο της αντιστοιχίας Anti-de Sitter/Σύμμορφων Θεωριών Πεδίου (AdS/CFT) αναλύουμε το πρόσφατα εισαχθέν Weyl-Fefferman-Graham (WFG) gauge. Στο WFG gauge, τόσο ένα μετρικό όσο και μια σύνδεση Weyl (Weyl connection) επάγονται στο σύμμορφο σύνορο (conformal boundary) και η συμμορφική γεωμετρία (conformal geometry) ανυψώνεται σε Weyl γεωμετρία. Παρουσιάζουμε αναλυτικά τα γεωμετρικά συστατικά της Weyl γεωμετρίας, όπως οι Weyl-συναλλοίωτοι τανυστές (Weyl-covariant tensors). Μελετούμε την ολογραφική ανωμαλία Weyl (Weyl anomaly) εντός αυτού του πλαισίου, εστιάζοντας στις συνομολογικές (cohomological) της ιδιότητες. Υπολογίζουμε τη Weyl ανωμαλία για 2d, 4d συνοριακούς χώρους και διαπιστώνουμε ότι το WFG gauge μόνο τετριμμένα τροποποιεί το cocycle της Weyl ανωμαλίας στο FG gauge. Εμπνευσμένοι από το WFG gauge, γενικεύουμε την κατασκευή ambient metric των Fefferman-Graham για συμμορφικές πολλαπλότητες (conformal manifolds) σε αντίστοιχη κατασκευή για πολλαπλότητες Weyl, το οποίο αναφέρουμε ως Weyl-ambient construction. Αυτό επιτυγχάνεται με την προαγωγή μιας συμμορφικής πολλαπλότητας σε πολλαπλότητα Weyl μέσω ανάθεσης μιας Weyl σύνδεσης στη κύρια δεσμίδα (principle bundle) R_+, δημιουργώντας έτσι μια δομή Weyl (Weyl structure). Δείχνουμε ότι η δομή Weyl έχει καλά ορισμένο πρόβλημα αρχικών τιμών που καθορίζει τη Weyl-ambient μετρική. Μέσω αυτής της κατασκευής, μελετούμε επίσης Weyl-συναλλοίωτους τανυστές και ορίζουμε τους extended Weyl-obstruction τανυστές. Η Weyl-ambient κατασκευή τοποθετεί το WFG gauge σε ένα στέρεο γεωμετρικό πλαίσιο. Στο τελευταίο κεφάλαιο αυτής της διατριβής διερευνούμε μια πρόσφατα ανακαλυφθείσα σύνδεση μεταξύ ορισμένων L-loop conformal ladder graphs και θερμικών μέσων τιμών (thermal expectation values) ενός U(1) φορτίου ενός ελεύθερου μιγαδικού βαθμωτού πεδίου φ(x) σε d=2L+1 διαστάσεις. Επεκτείνουμε αυτή την αντιστοιχία δείχνοντας ότι η ίδια η ελεύθερη ενέργεια (free energy) αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο L-loop conformal ladder graph το οποίο υπολογίζει μια συνάρτηση τεσσάρων σημείων (four-point function) του διδιάστατου conformal fishnet model των Kazakov και Olivucci. Οι θερμικές συναρτήσεις κατανομής (thermal partition functions) προσφέρουν μια νέα οπτική στα συμμορφικά γραφήματα (conformal graphs). Ως εφαρμογή αυτής της προσέγγισης, αναπαράγουμε το άθροισμα απείρου πλήθους διαγραμμάτων με βρόγχους (loop diagrams) στο πλαίσιο των θερμικών συναρτήσεων κατανομής.