Dynamics of holomorphic functions in the hyperbolic plane

Abstract

This thesis investigates the interactions between hyperbolic geometry and the dynamical behaviour of compositions of holomorphic self-maps of the hyperbolic plane. Our analysis draws inspiration from iteration theory and the theory of discrete groups.First, we prove an inequality that quantifies how close a holomorphic function is to being a conformal self-map of the hyperbolic plane. This can be thought of as a rigidity result for conformal functions that involves the hyperbolic metric.We then use our rigidity result in order to study the dynamics of holomorphic self-maps of the hyperbolic plane. In particular, we investigate the behaviour of compositions of a sequence of functions that itself converges to some limit function. Our goal is to examine under what conditions the dynamics of the composition sequence is similar to the dynamics of the iterates of the limit function. Intuitively, this question is about whether the Denjoy-Wolff theorem is stable under perturbations in the space of holomorphic functions.Next, we focus on compositions of Moebius transformations. Due to a result of Jacques and Short, the dynamical behaviour of any composition sequence generated by finitely many Moebius transformations can be inferred from the topological properties, in the Moebius group, of the semigroup that these transformations generate. We introduce geometric conditions on these semigroups that allow us to interpret their topological behaviour.Finally, we use our analysis of semigroups of Moebius transformations in order to study the parameter space of uniformly hyperbolic PSL(2, R)-cocycles. This topic was previously investigated by Avila, Bochi and Yoccoz, who proved that the uniform hyperbolicityof cocycles is equivalent to certain geometric properties of M¨obius transformations in PSL(2, R). The three authors pose several questions about the structure of this parameter space and we provide answers to two of their questions.

Η διατριβή αυτή ερευνά την αλληλεπίδραση της υπερβολικής γεωμετρίας και της δυναμικής συμπεριφοράς συνθέσεων ολόμορφων αυτο-απεικονίσεων του υπερβολικού επιπέδου. Η ανάλυση είναι εμπνευσμένη από την θεωρία αναδρομών και την θεωρία διακριτών ομάδων.Αρχικά, αποδεικνύουμε μια ανισότητα που ποσοτικοποιεί το πόσο κοντά βρίσκεται μια ολόμορφη συνάρτηση στο να είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του υπερβολικού επιπέδου. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα αποτέλεσμα ακαμψίας των σύμμορφων συναρτήσεων που περιλαμβάνει την υπερβολική μετρική. Χρησιμοποιούμε αυτό το αποτέλεσμα ακαμψίας προκειμένου να μελετήσουμε την δυναμική ολόμορφων αυτο-απεικονίσεων του υπερβολικού επιπέδου. Συγκεκριμένα, ερευνάμε την συμπεριφορά συνθέσεων μιας ακολουθίας συναρτήσεων που συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση-όριο. Στόχος μας είναι να εξετάσουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η δυναμική της ακολουθίας συνθέσεων ομοιάζει με την δυναμική της συνάρτησης-όριο. Διαισθητικά αυτό το ερώτημα αφορά το κατά πόσο το Θεώρημα Denjoy-Wolff είναι σταθερό υπό μεταβολές στον χώρο των ολόμορφων συναρτήσεων. Έπειτα, εστιάζουμε στις συνθέσεις μετασχηματισμών Moebius. Λόγω ενός αποτελέσματος των Jacques και Short, η δυναμική συμπεριφορά οποιασδήποτε ακολουθίας συνθέσεων ενός πεπερασμένου πλήθους μετασχηματισμών Moebius μπορεί να διαλευκανθεί μέσω των τοπολογικών ιδιοτήτων, στην ομάδα Moebius, της ημιομάδας που οι μετασχηματισμοί αυτοί παράγουν. Εισάγουμε γεωμετρικές συνθήκες που μας επιτρέπουν να μελετήσουμε αυτή την τοπολογική συμπεριφορά. Τέλος, χρησιμοποιoύμε την ανάλυσή μας πάνω στους μετασχηματισμούς Moebius για να μελετήσουμε τον παραμετρικό χώρο των ομοιόμορφα υπερβολικών PSL(2, R)-cocycles. Το θέμα αυτό μελετήθηκε προηγούμενα από τους Avila, Bochi και Yoccoz οι οποίοι απέδειξαν ότι η ομοιόμορφη υπερβολικότητα των cocycles είναι ισοδύναμη με κάποιες γεωμετρικές ιδιότητες των μετασχηματισμών Moebius στην ομάδα PSL(2, R). Οι συγγραφείς αυτοί θέτουν αρκετά ερωτήματα ως προς την δομή του παραμετρικού αυτού χώρου και εδώ απαντάμε σε δύο από αυτά.