Μελέτη και κατασκευή ασαφών συνδέσμων και συνεπαγωγών και εφαρμογές σε θέματα μηχανικού

Abstract

It is widely acknowledged that fuzzy logic plays an active role in our everyday lives. Machines, tools, and devices work with fuzzy logic methods. Many of them not only perform programmed functions, but also make decisions, such as a washing machine or a vacuum cleaner. These 'smart' machines work with fuzzy logic systems. In this thesis, a mathematical study is conducted on the fuzzy functions that form the basis of fuzzy logic, specifically fuzzy negation, fuzzy implication, and fuzzy conjunctions. The properties of these functions are analyzed, and new methods of constructing them are presented. The structure of the PhD thesis is divided into six parts, of which the last one is about an attempt at new results on the generation of fuzzy implications, negations, and fuzzy conjunctions. In detail, we have the following: Chapter 1 deals with the basic characteristics of a fuzzy set, its algebraic structure, and a reminder of properties of the classical set. De Morgan's laws are mentioned, and an introduction to fuzzy logic is given. Chapter 2 an analysis of fuzzy implications is given. Basic definitions and properties that they satisfy are mentioned. Fuzzy negation, triangular norm, and triangular conorm are also discussed, and families of fuzzy implications generated by them are analyzed. Ways of generating implications from the above operators are also presented. Finally, the Copula function, properties, and Copula families are presented. Chapter 3, a collection of new methods for constructing fuzzy implications are presented. The main types of them and their construction from old ones are mentioned. Fuzzy implications generated from functions of one variable are also studied. Chapter 4, the new methods of construction of fuzzy implications, negations, and fuzzy conjunctions on which this thesis is based are presented. Their properties are analyzed, and some theorems and corollaries on them are presented.

Είναι ευρέως γνωστό ότι η ασαφής λογική έχει ενεργό ρόλο στην καθημερινότητα μας. Μηχανές, εργαλεία και συσκευές λειτουργούν με μεθόδους της ασαφούς λογικής. Πολλά από αυτά δεν εκτελούν απλά προγραμματισμένες λειτουργίες, αλλά παίρνουν και αποφάσεις, όπως ένα πλυντήριο ή μια ηλεκτρική σκούπα. Τα «έξυπνα» αυτά μηχανήματα λειτουργούν με συστήματα της ασαφούς λογικής. Στη παρούσα διατριβή γίνεται μια μαθηματική μελέτη πάνω στις ασαφείς συναρτήσεις που δομούν την ασαφή λογική, δηλαδή την ασαφή άρνηση, την ασαφή συνεπαγωγή και την ασαφή σύζευξη. Αναλύονται οι ιδιότητες των συναρτήσεων αυτών και παρουσιάζονται νέες μέθοδοι κατασκευών τους. Η δομή της Διδακτορικής Διατριβής χωρίζεται σε έξι μέρη, εκ των οποίων το τελευταίο αναφέρεται σε μια προσπάθεια νέων αποτελεσμάτων πάνω στην δημιουργία ασαφών συνεπαγωγών, αρνήσεων και ασαφών συζεύξεων. Αναλυτικά έχουμε τα εξής: Το πρώτο Κεφάλαιο αναφέρεται στα βασικά χαρακτηριστικά ενός ασαφούς συνόλου, την αλγεβρική δομή του καθώς γίνεται και μια υπενθύμιση σε ιδιότητες του κλασικού συνόλου. Αναφέρονται οι de Morgan νόμοι και γίνεται μια εισαγωγή στην ασαφή λογική. Στο δεύτερο Κεφάλαιο γίνεται μια ανάλυση της ασαφούς συνεπαγωγής. Αναφέρονται βασικοί ορισμοί και ιδιότητες που ικανοποιεί. Επίσης, γίνεται αναφορά για την ασαφή άρνηση, την τριγωνική νόρμα και τριγωνική συννόρμα και αναλύονται οικογένειες ασαφών συνεπαγωγών που δημιουργούνται από αυτές. Επίσης παρουσιάζονται τρόποι δημιουργίας συνεπαγωγών από τους παραπάνω τελεστές. Τέλος, αναλύεται η συνάρτηση Copula, οι ιδιότητες της και οι οικογένειες Copula. Στο τρίτο Κεφάλαιο γίνεται μια συλλογή από νέες μεθόδους κατασκευής ασαφών συνεπαγωγών . Αναφέρονται οι κύριοι τύποι συνεπαγωγών και η δημιουργία συνεπαγωγών από παλιές. Επίσης, μελετώνται ασαφείς συνεπαγωγές που δημιουργούνται από συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι νέες μέθοδοι κατασκευής των ασαφών συνεπαγωγών, αρνήσεων και Copula πάνω στις οποίες στηρίζεται η παρούσα διδακτορική διατριβή. Αναλύονται οι ιδιότητες τους και παρουσιάζονται ορισμένα θεωρήματα και πορίσματα πάνω σε αυτές.