The reconstruction of the pre-Eudoxean theory of ratios of magnitudes based on the equality of anthyphaireses

Abstract

In the present thesis, I obtain the reconstruction of Theaetetus’ theory of ratios of magnitudes based, according to Aristotle’s Topics 158b, on the definition of proportion in terms of equal anthyphairesis. This reconstruction is built on the anthyphairetic interpretation of the notoriously difficult Theaetetus 147d3-e1 passage on Theaetetus’ mathematical discovery of quadratic incommensurabilities, itself based on the traces it has left on Plato’s philosophical definition of Knowledge in his dialogues Theaetetus, Sophist and Meno. Contrary to earlier reconstructions by Becker, van der Waerden and Knorr, my reconstruction reveals a theory that (a) applies only to the restricted class of pairs of magnitudes whose anthyphairesis is finite or eventually periodic, and (b) avoids the problematic use of Eudoxus’ definition 4 of Book V of Euclid’s Elements. The reconstructed theory of ratios consequently leads to the restoration of Book X of the Elements to its original Theaetetean, pre-Eudoxean form. This is achieved in two separate ways. First, I restore the considerable mathematical content of Book X, by correlating Book X with Plato’s account of Theaetetus’ mathematical discoveries and Plato’s imitations of these discoveries for his philosophy. Thus, Theaetetus proved [1] the eventual periodicity of the anthyphairesis of lines a to b, satisfying Ma^2 = Nb^2, for MN not square number, as deduced from Plato’s Theaetetus and Sophist, and not simply their incommensurability with arithmetical means, as suggested by the mathematically flawed Proposition X.9; [2] the anthyphairetic palindromic periodicity of the anthyphairesis of the surds √N for any non-square number N, as deduced from Plato’s Statesman, not mentioned at all in Book X but containing all the essential mathematical tools for its proof, and of relevance to the general Pell’s Diophantine problem, not mentioned in Book X but containing the essential mathematical tools for its proof; [3] the eventual periodic anthyphairesis of lines a to b, satisfying more general quadratic expressions, including the Application of Areas in defect, and employing this to show that 12 classes of alogoi lines, including the minor, despite being alogoi, are determined by an eventually periodic Application of Areas in defect, of relevance to the structure of the regular icosahedron in Book XIII of the Elements, and crucial for Plato’s Timaeus, who has indicated his interest in the method in the Meno 86e-87b; [4] the Pell theorem: if N is a non-square number, then find natural numbers x, y such that y^2 = Nx^2 + 1. Theaetetus’ interest for the general Pell problem (the case N = 2 had been studied by the Pythagoreans) is obvious from the second criterion for the ordering of the apotome and the binomial lines into six kinds. A general solution is possible through the use of the palindromic periodicity theorem, mentioned in [2]. From the analysis of the above achievements of Theaetetus, drawn from the juxtaposition of Platonic dialogues with Book X of the Elements, it is obvious that Theaetetus would have been interested in a theory of ratios of magnitudes that would not include just any ratio a/b, but only the class of ratios a/b such that the anthyphairesis of a to b is finite or eventually periodic. The Anonymon Scholion X.2 to the Elements, written by some follower of Plato’s philosophy, makes clear the commentator’s disdain for Eudoxus’ theory of ratios and his preference towards a theory of ratios that is focused on ratios with eventually periodic anthyphairesis. Secondly, I restore the proofs of all propositions of Book X, in such way that these are proofs based on Theaetetus’, and not on Eudoxus’ theory of proportion of magnitudes, in particular not making any use of Eudoxus’ condition (namely of definition 4 of Book V). The restoration is based on my reconstruction of Theaetetus’ theory of proportion for magnitudes, for the limited class of ratios a/b such that either a, b are commensurable or the anthyphairesis of a to b is eventually periodic, without employing Eudoxus’ condition, and its success provides a confirmation of this reconstruction.

Στην παρούσα διατριβή, παρουσιάζω την ανακατασκευή της θεωρίας λόγων μεγεθών του Θεαίτητου που αξιοποιεί, σύμφωνα με το χωρίο 158b από τα Τοπικά του Αριστοτέλη, τον ορισμό της αναλογίας με βάση την ίση ανθυφαίρεση. Η ανακατασκευή αυτή βασίζεται στην ανθυφαιρετική ερμηνεία του δυσνόητου χωρίου 147d3-e1 από τον Θεαίτητο, όπου αναφέρεται η ανακάλυψη του Θεαίτητου σχετικά με τις τετραγωνικές ασυμμετρίες. Η ανακάλυψη αυτή ανιχνεύεται μέσα από τα ίχνη που έχει αφήσει στον πλατωνικό ορισμό της Γνώσης μέσα από τους διαλόγους Θεαίτητος, Σοφιστής και Μένων. Σε αντίθεση με τις παλαιότερες ανακατασκευές των Becker, van der Waerden και Knorr, στη δική μου ανακατασκευή παρουσιάζεται μία θεωρία (α) η οποία εφαρμόζεται μόνο για την περιορισμένη κλάση των μεγεθών που έχουν πεπερασμένη ή τελικά περιοδική ανθυφαίρεση, και (β) στην οποία αποφεύγεται η προβληματική χρήση του ορισμού 4 του Ευδόξου από το Βιβλίο V των Στοιχείων του Ευκλείδη. Η ανακατασκευασμένη θεωρία τελικά μας οδηγεί στην επαναφορά του Βιβλίου Χ των Στοιχείων στην αρχική του Θεαιτήτεια, προ-Ευδόξεια μορφή. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο τρόπους. Αρχικά, εντοπίζω και επανεισάγω το μαθηματικά σημαντικό περιεχόμενο του Βιβλίου Χ, μέσω του συσχετισμού του Βιβλίου Χ με τα μαθηματικά επιτεύγματα του Θεαίτητου, όπως αυτά μας παρουσιάζονται από τον Πλάτωνα και μέσω της μίμησής τους μέσα στην πλατωνική φιλοσοφία. Καταλήγω στο ότι ο Θεαίτητος απέδειξε: [1] την τελικά περιοδική ανθυφαίρεση δύο ευθυγράμμων τμημάτων α και β που ικανοποιούν την εξίσωση Mα^2 = Νβ^2 με ΜΝ μη τετράγωνο αριθμό, όπως προκύπτει από τους διαλόγους Θεαίτητος και Σοφιστής, και όχι μόνο την ασυμμετρία των α και β μέσω αριθμητικών μεθόδων όπως υποδηλώνει η μαθηματικά προβληματική Πρόταση Χ.9, [2] την παλινδρομική περιοδικότητα της ανθυφαίρεσης των ριζικών √N για κάθε μη τετράγωνο αριθμό Ν, όπως διαφαίνεται στον Πολιτικό του Πλάτωνος, πρόταση που δεν αναφέρεται καν στο Βιβλίο Χ αν και σε αυτό περιέχονται όλα τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για την απόδειξή της, και τα οποία σχετίζονται με το γενικό πρόβλημα Pell που ομοίως δεν αναφέρεται στο Βιβλίο Χ αλλά και πάλι περιέχονται τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για την απόδειξή του, [3] την τελικά περιοδική ανθυφαίρεση των τμημάτων α και β αν αυτά ικανοποιούν και άλλες κατηγορίες δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπως αυτήν της παραβολής χωρίων κατ’ έλλειψιν, και χρησιμοποίησε στη συνέχεια αυτό το αποτέλεσμα για να αποδείξει ότι τα τμήματα που ανήκουν στις 12 κατηγορίες άλογων γραμμών, όπως η ελάσσονα, παρότι άλογα, καθορίζονται από μία τελικά περιοδική παραβολή χωρίων κατ’ έλλειψιν, αποτέλεσμα σχετιζόμενο με την κατασκευή του κανονικού εικοσάεδρου στο Βιβλίο ΧΙΙΙ των Στοιχείων και κρίσιμο στον Τίμαιο του Πλάτωνος, ο οποίος έχει ήδη εκφράσει το ενδιαφέρον του για τη μέθοδο στο Μένων 86e-87b, [4] το θεώρημα Pell: αν ο Ν είναι μη-τετράγωνος φυσικός αριθμός, να ευρεθούν φυσικοί αριθμοί x, y, ώστε y^2 = Nx^2 + 1. Το ενδιαφέρον του Θεαίτητου για το γενικό πρόβλημα (η περίπτωση Ν = 2 οφείλεται στους Πυθαγόρειους) καθίσταται σαφές από το δεύτερο κριτήριο για την ταξινόμηση των αποτομών και εκ δύο ονομάτων ευθειών σε έξι είδη. (Ορισμοί Χ47/48, Χ84/85 και Πρόταση Χ.97). Η γενική λύση του προβλήματος Pell είναι σχετικά απλή από το θεώρημα της παλινδρομικής περιοδικότητος [2]. Από αυτή την ανάλυση του έργου του Θεαίτητου, η οποία προκύπτει από την σύγκριση των Πλατωνικών διαλόγων με το Βιβλίο Χ των Στοιχείων, είναι σαφές ότι ο Θεαίτητος θα ενδιαφέρονταν για μια θεωρία λόγων μεγεθών, όχι για γενικούς λόγους μεγεθών α/β αλλά μόνο για λόγους ώστε η ανθυφαίρεση α προς β είναι πεπερασμένη ή τελικά περιοδική. Το Ανώνυμο Σχόλιο Χ.2 στα Στοιχεία, γραμμένο από κάποιον Πλατωνιστή, καθιστά σαφή την αντίθεσή του στη θεωρία λόγων μεγεθών του Ευδόξου, και την προτίμησή του για μία θεωρία λόγων μεγεθών που επικεντρώνεται στην τελικά περιοδική ανθυφαίρεση. Έπειτα, αναδιαμορφώνω τις αποδείξεις όλων των προτάσεων του Βιβλίο Χ, κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι αυτές να βασίζονται στη θεωρία λόγων μεγεθών του Θεαίτητου και όχι του Ευδόξου, αποφεύγοντας δηλαδή τη χρήση της συνθήκης του Ευδόξου (Ορισμός 4, Βιβλίο V). Η αναδιαμόρφωση των προτάσεων βασίζεται στην ανακατασκευασμένη θεωρία λόγων μεγεθών του Θεαίτητου για την περιορισμένη κλάση των λόγων α/β, που είναι τέτοιοι ώστε τα α, β να είναι σύμμετρα ή η ανθυφαίρεση των α και β να είναι τελικά περιοδική, αποφεύγοντας και εδώ τη συνθήκη του Ευδόξου, ενώ η επιτυχία του εγχειρήματος επιβεβαιώνει την προτεινόμενη ανακατασκευή της θεωρίας λόγων μεγεθών.