Linearity and residual properties of certain graphs of groups

Abstract

In the dissertation, we examine two fundamental problems in group theory. The first problem concerns linearity. The family of groups for which we will investigate linearity are fundamental groups of graphs of groups. In geometric group theory, a graph of groups is an object consisting of a collection of groups indexed by the vertices and edges of a graph, together with a family of monomorphisms of the edge groups into the vertex groups. There is a unique group, called the fundamental group, canonically associated to each finite connected graph of groups. It admits an orientation-preserving action on a tree: the original graph of groups can be recovered from the quotient graph and the stabilizer subgroups. This theory, commonly referred to as Bass–Serre theory, is due to the work of Hyman Bass and Jean-Pierre Serre. In Chapter 2, we prove the linearity over the ring of integers ℤ of the fundamental groups of certain graphs of groups with cyclic edge groups, where the vertex groups are free groups, free abelian groups, or right-angled Artin groups. Furthermore, using a similar technique, we also prove that the amalgamated free product of two free abelian groups is a linear group over ℤ. A special case of fundamental groups of graphs of groups is that of fundamental groups of finite graphs of groups with infinite cyclic vertex and edge groups. These groups are called Generalized Baumslag Solitar groups (GBS groups). GBS groups have interesting properties from a group-theoretic perspective and have been the subject of recent research. They are generalizations of Baumslag–Solitar groups, which can be viewed as GBS groups where the underlying graph is a simple loop. These groups were defined by Gilbert Baumslag and Donald Solitar in order to provide examples of non-Hopfian groups and they have played a central role in combinatorial and geometric group theory. In several cases they have provided examples which mark boundaries between different classes of groups and also they often provide a test for various theories. In the present thesis we investigate residual properties of GBS groups. In the first chapter, we provide some background for the following chapters. More specifically, we provide some basic definitions and results from combinatorial and geometrical group theory and we describe the aforementioned concepts in a more analytical and meticulous manner. Finally, we also provide with relative brevity some basic elements of Bass-Serre theory.

Στην παρούσα διατριβή εξετάζουμε δύο θεμελιώδη προβλήματα στη θεωρία ομάδων. Το πρώτο πρόβλημα είναι αυτό της γραμμικότητας. Η οικογένεια των ομάδων τις οποίες θα μελετήσουμε ως προς τη γραμμικότητα ονομάζονται θεμελιώδεις ομάδες γραφημάτων ομάδων. Στη γεωμετρική θεωρία ομάδων, ένα γράφημα ομάδων είναι ένα αντικείμενο που αποτελείται από μια συλλογή ομάδων, οι οποίες αντιστοιχούν στις κορυφές και στις ακμές ενός γραφήματος, μαζί με μια οικογένεια μονομορφισμών από τις ομάδες των ακμών προς τις ομάδες των κορυφών. Υπάρχει μια μοναδική ομάδα, που ονομάζεται θεμελιώδης ομάδα, η οποία συσχετίζεται κανονικά με κάθε πεπερασμένο συνεκτικό γράφημα ομάδων. Αυτή η ομάδα επιδέχεται μια δράση που διατηρεί τον προσανατολισμό σε ένα δέντρο: το αρχικό γράφημα ομάδων μπορεί να ανακτηθεί από το γράφημα πηλίκο και τις υποομάδες σταθεροποιητών. Αυτή η θεωρία, η οποία είναι γνωστή ως θεωρία Bass–Serre, οφείλεται στο έργο των Hyman Bass και Jean-Pierre Serre. Στο Κεφάλαιο 2 αποδείκνείουμε τη γραμμικότητα επί του δακτύλιου των ακεραίων των θεμελιωδών ομάδων ορισμένων γραφημάτων ομάδων που έχουν κυκλικές ομάδες ακμών, ενώ οι ομάδες κορυφών είναι ελεύθερες ομάδες, ελεύθερες αβελιανές ομάδες ή ορθογώνιες ομάδες του Artin. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας μία παρόμοια τεχνική, θα αποδείξουμε επίσης ότι το ελεύθερο γινόμενο με αμάλγαμα δύο ελεύθερων αβελιανών ομάδων είναι γραμμική ομάδα επί του ℤ. Μια ειδική περίπτωση θεμελιωδών ομάδων γραφημάτων ομάδων είναι οι θεμελιώδεις ομάδες πεπερασμένων γραφημάτων ομάδων με άπειρες κυκλικές ομάδες κορυφών και ακμών. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται Γενικευμένες Baumslag-Solitar ομάδες (ομάδες GBS). Οι GBS ομάδες έχουν ενδιαφέροντες ιδιότητες από πλευράς θεωρίας ομάδων και αποτελούν αντικείμενο πρόσφατης έρευνας. Αποτελούν γενικεύσεις των Baumslag-Solitar ομάδων οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως GBS ομάδες όπου το υποκείμενο γράφημα είναι ένας απλός βρόχος. Αυτές οι ομάδες ορίστηκαν από τους Gilbert Baumslag και Donald Solitar με σκοπό να παρέχουν παραδείγματα non-Hopfian ομάδων και έχουν παίξει πολύ κεντρικό ρόλο στη συνδυαστική και στη γεωμετρική θεωρία ομάδων. Σε πολλές περιπτώσεις έχουν προσφέρει παραδείγματα που σηματοδοτούν τα όρια μεταξύ διαφόρων κλάσεων ομάδων και επίσης συχνά παρέχουν ένα τεστ για διάφορες θεωρίες. Στην παρούσα διατριβή μελετούμε τις υπολοιπόμενες ιδιότητες των GBS ομάδων. Στο πρώτο Κεφάλαιο της διατριβής παρέχουμε μερικά εισαγωγικά στοιχεία για τα επόμενα Κεφάλαια. Πιο συγκεκριμένα, παρέχουμε ορισμούς και αποτελέσματα από τη συνδυαστική και τη γεωμετρική θεωρία ομάδων και περιγράφουμε τις παραπάνω έννοιες με πιο αναλυτικό και μεθοδικό τρόπο. Τέλος, παρέχουμε επίσης, με σχετική συντομία, ορισμένα βασικά στοιχεία της Bass-Serre θεωρίας.