Περίληψη
Αυτή η διατριβή εξερευνά δύο διασυνδεδεμένα θέματα στη θεωρία των συστημάτων τελεστών και τις εφαρμογές τους: τη μελέτη των coproducts στην κατηγορία των \(\mathcal{A}\)-συστημάτων τελεστών και τη χρήση των συστημάτων τελεστών για τη μοντελοποίηση των contextuality scenarios στην κβαντική μηχανική. Αυτά τα θέματα αναπτύσσονται σε δύο κύρια κεφάλαια, καθένα από τα οποία συνεισφέρει σε μια βαθύτερη κατανόηση των δομικών και εφαρμοσμένων πτυχών των συστημάτων τελεστών. Στο Κεφάλαιο 2, ξεκινάμε μια συστηματική μελέτη των coproducts για \(\mathcal{A}\)-συστήματα τελεστών, γενικεύοντας τη γνωστή κατασκευή coproducts για συστήματα τελεστών. Καθιερώνουμε την ύπαρξη coproducts σε αυτήν την κατηγορία και παρέχουμε συγκεκριμένο τρόπο αναπαράστασης αυτών των κατασκευών ως υποσυστήματα τελεστών ελεύθερων γινομένων \(C^*\)-αλγεβρών. Βασικά αποτελέσματα περιλαμβάνουν την αναπαράσταση των coproducts ως πηλίκων συστημάτων τελεστών και την εξερεύνηση των συνδέσεών τους με τα \(C^*\)-περιβλήματα και την ...
Αυτή η διατριβή εξερευνά δύο διασυνδεδεμένα θέματα στη θεωρία των συστημάτων τελεστών και τις εφαρμογές τους: τη μελέτη των coproducts στην κατηγορία των \(\mathcal{A}\)-συστημάτων τελεστών και τη χρήση των συστημάτων τελεστών για τη μοντελοποίηση των contextuality scenarios στην κβαντική μηχανική. Αυτά τα θέματα αναπτύσσονται σε δύο κύρια κεφάλαια, καθένα από τα οποία συνεισφέρει σε μια βαθύτερη κατανόηση των δομικών και εφαρμοσμένων πτυχών των συστημάτων τελεστών. Στο Κεφάλαιο 2, ξεκινάμε μια συστηματική μελέτη των coproducts για \(\mathcal{A}\)-συστήματα τελεστών, γενικεύοντας τη γνωστή κατασκευή coproducts για συστήματα τελεστών. Καθιερώνουμε την ύπαρξη coproducts σε αυτήν την κατηγορία και παρέχουμε συγκεκριμένο τρόπο αναπαράστασης αυτών των κατασκευών ως υποσυστήματα τελεστών ελεύθερων γινομένων \(C^*\)-αλγεβρών. Βασικά αποτελέσματα περιλαμβάνουν την αναπαράσταση των coproducts ως πηλίκων συστημάτων τελεστών και την εξερεύνηση των συνδέσεών τους με τα \(C^*\)-περιβλήματα και την hyperrigidity. Εξετάζουμε επίσης τα δυϊκά \(\mathcal{A}\)-συστήματα τελεστών και τα επαγωγικά όρια, επεκτείνοντας τη θεωρία δυϊκότητας των συστημάτων τελεστών και θέτοντας τα θεμέλια για περαιτέρω έρευνα σε απειροδιάστατα πλαίσια. Το Κεφάλαιο 3 μετατοπίζει την εστίαση στον ρόλο των συστημάτων τελεστών στη μοντελοποίηση contextuality scenarios, μια κεντρική έννοια στην κβαντική μηχανική που καταγράφει τη μη-κλασική συμπεριφορά των κβαντικών μετρήσεων. Εισάγουμε καθολικά συστήματα τελεστών που σχετίζονται με ένα contextuality scenario και κωδικοποιούν θετικές αναπαραστάσεις τελεστών (PORs) και τις διαστολές τους σε προβολικές αναπαραστάσεις (PRs), αντίστοιχα. Αυτό το πλαίσιο μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τα διαστάλσιμα contextuality scenarios και να εξερευνήσουμε την ιεραρχία των πιθανοτικών μοντέλων χωρίς επικοινωνία τόσο στο παράδειγμα των προβολικών όσο και στις θετικές αναπαραστάσεις. Καθιερώνουμε επίσης χαρακτηρισμούς μέσω του ίχνους για coherent πιθανοτικά μοντέλα και παρέχουμε νέες ισοδυναμίες του Προβλήματος Εμφύτευσης του Connes σε σχέση με contextuality scenarios. Σχετικά με τα coproducts \(\mathcal{A}\)-συστημάτων τελεστών, προετοιμάζεται το έδαφος για περαιτέρω εξερεύνηση των εφαρμογών τους στις ελεύθερες πιθανότητες, τη θεωρία τυχαίων πινάκων και την κβαντική θεωρία πληροφορίας. Οι συνδέσεις μεταξύ των coproducts και των \(C^*\)-περιβλημάτων, ιδιαίτερα στην περίπτωση υπεράκαμπτων συστημάτων τελεστών, υποδηλώνουν βαθύτερες σχέσεις μεταξύ κατηγορικών κατασκευών και της δομής των \(C^*\)-αλγεβρών. Από την πλευρά του contextuality, η σκοπιά των συστημάτων τελεστών που αναπτύχθηκε εδώ παρέχει ένα ισχυρό εργαλείο για τη μελέτη της μη-τοπικότητας και του contextuality σε κβαντικά συστήματα.
περισσότερα
Περίληψη σε άλλη γλώσσα
This thesis explores two interconnected themes in the theory of operator systems and their applications: the study of coproducts in the category of operator $\Aa$-systems and the use of operator systems to model contextuality scenarios in quantum mechanics. These themes are developed across three main chapters, each contributing to a deeper understanding of the structural and applied aspects of operator systems. In Chapter 2, we initiate a systematic study of coproducts for operator $\Aa$-systems, generalizing the well-known coproduct construction for operator systems. We establish the existence of coproducts in this category and provide concrete realizations of these constructions as operator subsystems of free products of C*-algebras. Key results include the representation of coproducts as quotient operator systems and the exploration of their connections to C*-envelopes and hyperrigidity. We also investigate dual operator A-systems and inductive limits, extending the duality theory ...
This thesis explores two interconnected themes in the theory of operator systems and their applications: the study of coproducts in the category of operator $\Aa$-systems and the use of operator systems to model contextuality scenarios in quantum mechanics. These themes are developed across three main chapters, each contributing to a deeper understanding of the structural and applied aspects of operator systems. In Chapter 2, we initiate a systematic study of coproducts for operator $\Aa$-systems, generalizing the well-known coproduct construction for operator systems. We establish the existence of coproducts in this category and provide concrete realizations of these constructions as operator subsystems of free products of C*-algebras. Key results include the representation of coproducts as quotient operator systems and the exploration of their connections to C*-envelopes and hyperrigidity. We also investigate dual operator A-systems and inductive limits, extending the duality theory of operator systems and laying the groundwork for further research in infinite-dimensional settings. Chapter 3 shifts focus to the role of operator systems in modeling contextuality scenarios, a central concept in quantum mechanics that captures the non-classical behavior of quantum measurements. We introduce universal operator systems $\Ss_{\G}$ and $\Tt_{\G}$ associated with a contextuality scenario, which encode positive operator representations (PORs) and their dilations to projective representations (PRs), respectively. This framework allows us to characterize dilating contextuality scenarios and explore the hierarchy of no-signalling correlations in both the projective and positive operator setting. We also establish tracial characterizations of coherent probabilistic models and provide new equivalences of the Connes Embedding Problem in terms of contextuality scenarios. The study of coproducts for operator $\Aa$-systems invites further exploration of their applications in free probability, random matrix theory, and quantum information theory. The connections between coproducts and C*-envelopes, particularly in the hyperrigid case, suggest deeper relationships between categorical constructions and the structure of C*-algebras. On the contextuality side, the operator system framework developed here provides a powerful tool for studying non-locality and contextuality in quantum systems.
περισσότερα