A geometric variational problem on a periodic domain

Abstract

This dissertation successfully solves a geometric variational problem that occurs in the study of biological systems. More specifically, we find two solutions of this problem assuming that the domain is a periodic lattice in the plane. The first solution is a perturbed disk and the second one is a disjoint union of multiple perturbed disks. Finally, we approximate the centers of these disks in the case where the number of disks is two and at some special examples of lattices.

Αυτή η διατριβή επιλύει επιτυχώς ένα γεωμετρικό πρόβλημα στον λογισμό μεταβολών το οποίο προκύπτει στην μελέτη βιολογικών συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα, βρίσκουμε δύο λύσεις αυτού του προβλήματος κάνοντας την υπόθεση ότι το πεδίο ορισμού είναι ένα περιοδικό πλέγμα στο επίπεδο. Η πρώτη λύση είναι ένας διαταραγμένος δίσκος και η δεύτερη είναι η ξένη ένωση πολλαπλών διαταραγμένων δίσκων. Στο τέλος προσεγγίζουμε τα κέντρα αυτών των δίσκων στην περίπτωση που ο αριθμός των δίσκων είναι δύο και σε συγκεκριμένα παραδείγματα πλεγμάτων.