Polynomials with special properties over finite fields

Abstract

In this work, we are interested in the existence of polynomials with special properties over finite fields. In Chapter 2 some background material is presented. We present some basic concepts of characters of finite abelian groups and we prove some basic results. Next, we focus on Dirichlet characters and on the characters of the additive and the multiplicative groups of a finite field. We conclude this chapter with an expression of the characteristic function of generators of cyclic R-modules, where R is a Euclidean domain, known as Vinogradov’s formula. In Chapter 3, we consider a special case of the Hansen-Mullen conjecture. In particular, we consider the existence of self-reciprocal monic irreducible polynomials of degree 2n over Fq , where q is odd, with some coefficient prescribed. First, we use Carlitz’s characterization of self-reciprocal polynomials over odd finite fields and, with the help of Dirichlet characters, we prove asymptotic conditions for the existence of polynomials with the desired properties. As a conclusion, we restrict ourselves to the first n/2 (hence also to the last n/2) coefficients, where our results are more efficient, and completely solve the resulting problem. In Chapter 4 we extend the primitive normal basis theorem and its strong version. Namely, we consider the existence of polynomials whose roots are simultaneously primitive, produce a normal basis and some given Möbius transformation of those roots also produce a normal basis. First, we characterize elements with the desired properties and with the help of characters, we end up with some sufficient conditions, which we furtherly relax using sieving techniques. In the end, we prove our desired results, with roughly the same exceptions as the ones appearing in the strong primitive normal basis theorem. In Chapter 5, we work in the same pattern as in Chapter 4, only here we demand that the Möbius transformation of the roots of the polynomial is also primitive. We roughly follow the same steps and prove that there exists a polynomial over a finite field such that its roots are simultaneously primitive and produce a normal basis and some given Möbius tranformation of its roots also possess both properties, given that the cardinality of the field and the degree of the polynomial are large enough.

Στην διατριβή αυτή, ενδιαφερόμαστε για την ύπαρξη πολυωνύμων πάνω από πεπερασμένα σώματα με ειδικές ιδιότητες. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε μερικό προπαρασκευαστικό υλικό. Συγκεκριμένα αναφέρουμε βασικές ιδιότητες των χαρακτήρων πεπερασμένων αβελιανών ομάδων και αποδεικνύουμε μερικές ιδιότητες. Στην συνέχεια επικεντρωνόμαστε σε χαρακτήρες Dirichlet και τους προσθετικούς και πολλαπλασιαστικούς χαρακτήρες πεπερασμένων σωμάτων. Ολοκληρώνουμε το κεφάλαιο με μια έκφραση της χαρακτηριστικής συνάρτησης των γεννητόρων κυκλικών R-module, όπου R μια ευκλείδεια περιοχή, γνωστή και ως τύπος του Vinogradov. Στο Κεφάλαιο 3 παίρνουμε μια ειδική περίπτωση της εικασίας Hansen-Mullen. Συγκεκριμένα ενδιαφερόμαστε για την ύπαρξη αυτοανάστροφων μονικών ανάγωγων πολυωνύμων βαθμού 2n υπερ του Fq , όπου q περιττός, με κάποιους προκαθορισμένους συντελεστές. Καταρχάς χρησιμοποιούμε τον χαρακτηρισμό του Carlitz για τα αυτοανάστροφα πολυώνυμα πάνω από περιττά πεπερασμένα σώματα και, με την βοήθεια χαρακτήρων Dirichlet αποδεικνύουμε ασυμπτωτικές συνθήκες για την ύπαρξη πολυωνύμων με τις επιθυμητές ιδιότητες. Καταλήγοντας, επικεντρωνόμαστε στους πρώτους n/2 (άρα και τους τελευταίους n/2) συντελεστές, όπου τα αποτελέσματά μας είναι πιο ισχυρά και απαντούμε πλήρως το σχετικό ερώτημα. Στο Κεφάλαιο 4 επεκτείνουμε το θεώρημα πρωταρχικής κανονικής βάσης και την ισχυρή μορφή του. Ειδικότερα, ενδιαφερόμαστε για την ύπαρξη πολυωνύμων των οποίων οι ρίζες είναι ταυτόχρονα πρωταρχικές, παράγουν μια κανονική βάση και δεδομένου ενός μετασχηματισμού Möbius, οι μετασχηματισμένες ρίζες παράγουν επίσης μια κανονική βάση. Πρώτα χαρακτηρίζουμε τα στοιχεία με τις επιθυμητές ιδιότητες και με την βοήθεια χαρακτήρων, καταλήγουμε σε κάποιες ικανές συνθήκες, τις οποίες εξασθενούμε περαιτέρω με τεχνικές κόσκινου. Στο τέλος, αποδεικνύουμε τα αποτελέσματά μας, έχοντας σχεδόν τις ίδιες εξαιρέσεις με εκείνες που εμφανίζονται στο ισχυρό θεώρημα πρωταρχικής κανονικής βάσης. Στο Κεφάλαιο 5, εργαζόμαστε με το ίδιο μοτίβο με το Κεφάλαιο 4, με την επιπλέον απαίτηση ο μετασχηματισμός Möbius των ριζών του πολυωνύμου να είναι επιπλέον και πρωταρχικός. Ακολουθούμε σχεδόν τα ίδια βήματα και αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν πολυώνυμα πάνω από πεπερασμένα σώματα, τέτοια ώστε οι ρίζες τους να είναι ταυτόχρονα πρωταρχικές, κανονικές και, δεδομένου ενός μετασχηματισμού Möbius των ριζών, τα στοιχεία που προκύπτουν διαθέτουν τις ίδιες ιδιότητες, υπό την προϋπόθεση ότι η τάξη του σώματος και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι αρκετά μεγάλα.