Παρουσιάσεις Specht προτύπων και επεκτάσεις Weyl προτύπων

Abstract

In Part 1 of this thesis we study presentations of Schur modules of the general linear group and Specht modules of the symmetric group over a field of characteristic zero. New presentations of Specht modules of symmetric groups over fields of characteristic zero have been obtained by Brauner, Friedmann, Hanlon, Stanley and Wachs. These involve generators that are column tabloids and relations that are Garnir relations with maximal number of exchanges between consecutive columns or symmetrization of Garnir relations with minimal number of exchanges between consecutive columns. In this paper, we examine Garnir relations and their symmetrization with any number of exchanges. In both cases, we provide sufficient arithmetic conditions so that the corresponding quotient is a Specht module. These results are new, generalize and unify the presentations mentioned above and offer an answer to a recent question of Friedmann, Hanlon and Wachs. Our approach is based on representations of the general linear group and the Schur functor.In Part 2 of the thesis we compute the extension groups Ext^2 between the Weyl modules of the integral general linear group that correspond to the partitions λ = (a, 1^b), μ=(a+1,b-1). it is shown that these groups are cyclic of order a divisor of 6 and a complete description is achieved as a function of a,b. The method used is based upon projective resolutions of hook Weyl modules and the computation of invariant factors of the resulting presentation matrices.

Στο Μέρος 1 της παρούσας διατριβής μελετάμε παρουσιάσεις Schur και Specht προτύπων υπεράνω σώματος χαρακτηριστικής 0. Νέες παρουσιάσεις Specht προτύπων έχουν αποδειχθεί πρόσφατα από τους Brauner, Friedmann, Hanlon, Stanley και Wachs. Αυτές χρησιμοποιούν γεννήτορες που είναι tabloids στηλών και σχέσεις που είναι σχέσεις Garnir με μέγιστο αριθμό ανταλλαγών μεταξύ διαδοχικών στηλών ή συμμετρικοποιήσεις σχέσεων Garnir με ελάχιστο αριθμό ανταλλαγών μεταξύ διαδοχικών στηλών. Μελετάμε σχέσεις Garnir και τις συμμετρικοποιήσεις τους με οποιοδήποτε πλήθος ανταλλαγών. Και στις δύο περιπτώσεις βρίσκουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το αντίστοιχο πηλίκο να είναι Specht πρότυπο. Τα αποτελέσματά αυτά είναι νέα, γενικεύουν και ενοποιούν τις παρουσιάσεις που αναφέρθηκαν πριν και δίνουν μια απάντηση σε πρόσφατο ανοιχτό ερώτημα των Friedmann, Hanlon και Wachs. Η προσέγγιση του προβλήματος γίνεται με χρήση της θεωρίας αναπαραστάσεων της γενικής γραμμικής ομάδας και του συναρτητή Schur. Στο Μέρος 2 της διατριβής υπολογίζουμε τις ομάδες επέκτασης Ext^2 μεταξύ των Weyl προτύπων της ακέραιας γενικής γραμμικής ομάδας που αντιστοιχούν στις διαμερίσεις λ = (a, 1^b), μ=(a+1,b-1). Αποδεικνύεται ότι οι ομάδες αυτές είναι κυκλικές με τάξη διαιρέτη του 6 και επιτυγχάνεται πλήρης υπολογισμός συναρτήσει των a,b. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται βασίζεται σε προβολικές επιλύσεις hook Weyl προτύπων και στον υπολογισμό αναλλοιώτων παραγόντων των αντίστοιχων πινάκων παρουσίασης.