Αποκοπή κυρτών περιβλημάτων ως εφαρμογή εξακρίβωσης παραμέτρων διμεταβλήτων μορφοκλασματικών επιφανειών παρεμβολής και ως επέκταση γλωσσών οπτικού προγραμματισμού

Abstract

In this thesis, the clipping of straight-line segments through convex hulls is studied, with applications in visual programming as well as the parameter identification of specific Fractal Interpolation Surfaces, and it consists of two parts. The first part addresses line clipping against a convex region in two dimensions and a convex volume in three dimensions, while the second part focuses on Fractal Interpolation Surfaces. After reading the first part and understanding the concept of fractals, one may wonder: How these two seemingly unrelated concepts are connected? The answer is simple. All clipping-related algorithms developed in the first part by the author and the supervisor share a common approach in their functionality. In every case of line segment clipping - whether in two or three dimensions - when the clipping region or volume is convex, the algorithm examines each clipping boundary by “embracing” the segment and incrementally clipping it. This observation naturally led the research toward fractals. Specifically, when determining the optimal value of the free vertical scaling parameter in the creation of fractal interpolation surfaces, the intersection of convex polyhedra is required. The concept of embracing applies seamlessly in this context as well.

Σε αυτή τη διατριβή μελετάται η αποκοπή ευθυγράμμων τμημάτων δια μέσου κυρτών περιβλημάτων με εφαρμογές στον οπτικό προγραμματισμό καθώς και η εξακρίβωση παραμέτρων συγκεκριμένων Μορφοκλασματικών Επιφανειών Παρεμβολής (Μ.Ε.Π.). Αποτελείται από δύο μέρη: Το πρώτο μέρος ασχολείται με την αποκοπή τόσο σε κυρτό παράθυρο στις δύο διαστάσεις, όσο και σε κυρτό όγκο στις τρεις διαστάσεις ενώ το δεύτερο μέρος σχετίζεται με τις Μ.Ε.Π. Η λογικότερη απορία που μπορεί να δημιουργηθεί σε κάποιον διαβάζοντας το πρώτο μέρος και γνωρίζοντας, έστω και ελάχιστα, τι είναι ένα μορφόκλασμα, είναι το πως σχετίζονται μεταξύ τους αυτές οι δύο φαινομενικά ασύνδετες έννοιες. Η απάντηση είναι απλή: Οι αλγόριθμοι αποκοπής που δημιουργήθηκαν στο πρώτο μέρος από τον συγγραφέα και τον επιβλέποντα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό στον τρόπο λειτουργίας τους: Σε όλες τις περιπτώσεις αποκοπής ευθυγράμμων τμημάτων, είτε στις δύο είτε στις τρεις διαστάσεις, εφ’ όσον το παράθυρο ή ο όγκος αποκοπής είναι κυρτός, ο εκάστοτε αλγόριθμος εξετάζει κάθε σύνορό τους «εναγκαλιζόμενος» το ευθύγραμμο τμήμα και αποκόπτοντάς το σταδιακά. Η διαπίστωση αυτή οδήγησε την έρευνα στα μορφοκλάσματα όπου για την κατασκευή Μ.Ε.Π. και την εύρεση της βέλτιστης τιμής της ελεύθερης παραμέτρου κατακόρυφης κλιμάκωσης απαιτείται ο υπολογισμός της τομής κυρτών πολυέδρων. Η λογική του εναγκαλισμού βρίσκει απόλυτη εφαρμογή και στην περίπτωση αυτή.