Ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνικών με τη χρήση διατυπώσεων μεικτών πεπερασμένων στοιχείων στο σύστημα των εξισώσεων του Maxwell για προβλήματα ηλεκτρομαγνητικής διάδοσης

Abstract

This doctoral thesis focuses on mixed formulations of finite elements for the Maxwell equations in the frequency domain, developing formulations for eigenvalue problems where solutions include all possible modes of electromagnetic propagation in complex periodic structures, and for excitation problems examining electromagnetic wave propagation at given frequencies and excitation field distributions. Specifically, a novel E-B eigen formulation for characterizing complex periodic arrangements is introduced, seeking eigenvalue pairs (complex propagation constant β) and eigenvectors (periodic envelopes of electric E and magnetic B fields) to construct dispersion diagrams without requiring linearization processes. This EB formulation returns both fields at the same approximation order, enhancing accuracy. The ω-β process allows studying media with frequency dispersion, returning precise propagation constants. Strategies for conditioning the E-B formulation's algebraic system were proposed, improving its condition number and convergence. The inclusion of non-physical mathematical modes in the solution set of the E-B formulation analysis of a simple stratified medium was examined, linking some of these spurious solutions to characteristics of the algebraic system as well as to null spaces inherent to the finite element discretization of electromagnetic field envelopes. The formulation was also extended to address complex structures containing homogenous anisotropic materials and introduced specific boundary conditions (E-B absorbing boundary condition, homogeneous Dirichlet conditions, and finite surface conductivity condition) for field envelopes. The dissertation expanded on mixed finite formulations for excitation problems, aiming to construct preconditioning processes for solving large-scale problems using the E-B formulation. Preconditioners using two Schur complements for electric and magnetic degrees of freedom were examined, with strategies proposed to approximate these complements using sparse and easily constructible approaches. The use of hierarchical matrices technique for constructing preconditioners for the E-B formulation was explored, demonstrating the potential integration of hierarchical matrix techniques into practical preconditioning processes. The dissertation highlights the development of preconditioners that improve the computational efficiency and convergence of large-scale computational domains, proposing future research directions for extending these techniques.

Το ενδιαφέρον της διατριβής επικεντρώνεται στις μικτές διατυπώσεις πεπερασμένων στοιχείων για τις εξισώσεις του Maxwell στο πεδίο της συχνότητας. Αναπτύσσονται διατυπώσεις πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα ιδιοτιμών όπου οι λύσεις περιλαμβάνουν όλες τις δυνατές μορφές ηλεκτρομαγνητικής διάδοσης σε σύνθετες περιοδικές δομές, καθώς και για προβλήματα διέγερσης που εξετάζουν τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε συγκεκριμένες συχνότητες και κατανομές πεδίων διέγερσης. Περιγράφεται μια νέα διατύπωση ιδιοτιμών Ε-Β για τον χαρακτηρισμό σύνθετων περιοδικών διατάξεων, αναζητώντας ζεύγη ιδιοτιμών (σύνθετη σταθερά διάδοσης β) και ιδιοδιανύσματα (περιοδικούς φακέλους των ηλεκτρικών πεδίων E και μαγνητικών πεδίων B) για την κατασκευή διαγραμμάτων διασποράς χωρίς να απαιτούνται διαδικασίες γραμμικοποίησης. Αυτή η διατύπωση E-B επιστρέφει και τα δύο πεδία στην ίδια τάξη προσέγγισης, βελτιώνοντας την ακρίβεια. Η διαδικασία ω-β επιτρέπει τη μελέτη μέσων με διασπορά συχνότητας, επιστρέφοντας ακριβείς σταθερές διάδοσης. Προτάθηκαν ακόμη στρατηγικές για την βελτίωση της κατάστασης του αλγεβρικού συστήματος της διατύπωσης, ενω μελετήθηκε και η εμφάνιση μη φυσικών ρυθμών. Η διατύπωση ιδιοτιμών επεκτάθηκε και σε σύνθετες δομές οι οποίτες περιέχουν διανισοτροπικά υλικά, ενώ περιγράφηκαν και οριακές συνθήκες απορρόφησης και γραφενίου. Το ενδιαφέρον της διατριβής επεκτείνεται και στις μικτές διατυπώσεις πεπερασμένων στοιχείων για προβλήματα διέγερσης, με στόχο την κατασκευή προρυθμιστικών διαδικασιών (preconditioning) για την επίλυση προβλημάτων μεγάλης κλίμακας χρησιμοποιώντας τη διατύπωση E-B. Εξετάστηκαν προρυθμιστές που χρησιμοποιούν τα συμπληρώματα Schur με αραιές και εύκολα κατασκευάσιμες προσεγγίσεις τους. Διερευνήθηκε τέλος και η χρήση της τεχνικής ιεραρχικών πινάκων για την κατασκευή προρυθμιστών για τη διατύπωση E-B, καταδεικνύοντας τη δυνητική ενσωμάτωση τεχνικών ιεραρχικών μητρών σε πρακτικές διαδικασίες προρύθμισης.