Hydrodynamic analysis of oblate spheroids in harmonic water waves using the method of image singularities

Abstract

The present thesis strives to develop a semi-analytical solution for an immersed spheroid. In specifical, the diffraction and the radiation hydrodynamic problems are considered. The term “spheroid” refershere in to the oblate geometry of arbitrary eccentricity and to the axisymmetric configuration, where the axis of symmetry is perpendicular to the free surface. For each hydrodynamic problem, the oblate spheroid is fully submerged and placed firstly in a liquid field of infinite water depth and in the sequel in a liquid field of finite (fixed) water depth. The proposed numerical approach is based on the method of the Image Singularities System. This method provides explicit relations that express the oblate spheroidal harmonics, given in terms of the fundamental solutions of the Laplace equation. In the present investigation, the method of the Image Singularities System is employed in order to transform the underlying Green’s function into the relevant coordinate system and, consequently, to formulate the velocity potential for the relative hydrodynamic problem. The mathematical formulations have been implemented numerically providing exceptionally accurate computations, which manifest the consistency and robustness of the relevant formulas. A comprehensive series of numerical simulations is presented for the relevant hydrodynamic parameters (i.e., for the diffraction problem the exciting forces and moments, for the radiation problem the hydrodynamic added mass and damping coefficients) depending on the wave frequency, the submergence of the spheroid, the slenderness ratio, and the water depth. All the results are validated with results that are obtained from a Boundary Integral Equation Method (BIEΜ). Based on the same approach, the oblate spheroid is simulated as a sphere and a disc. The whole process that has been performed for the spheroid, is performed for the sphere and the disc as well. After this study, the method of the Image Singularities System was extended for an array of fully submerged oblate spheroids in a liquid field with infinite water depth. In the same context only the diffraction hydrodynamic problem is considered. The difficulty here lies on the involvement of the relevant addition theorem in order to define the velocity potential.

Στην παρούσα διατριβή μελετάται αρχικά το πρόβλημα της περίθλασης και της ακτινοβολίας για έναπλήρως βυθισμένο σφαιροειδής σώμα, το οποίο είναι τοποθετημένο σε βαθύ νερό. Ο όρος σφαιροειδές αναφέρεται σε oblate, πεπλατυσμένο, σώμα αυθαίρετης εκκεντρότητας και στην αξονική συμμετρική διαμόρφωση, όπου ο άξονας συμμετρίας είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια. Όσον αφορά το πρόβλημα της περίθλασης το σώμα υποβάλλεται σε αρμονικούς προσπίπτοντες κυματισμούς ενώ για το πρόβλημα της ακτινοβολίας λαμβάνονται υπόψη οι κινήσεις του σώματος στις μεταφορικές διευθύνσεις. Για κάθε υδροδυναμικό πρόβλημα προσδιορίζεται το πρόβλημα των οριακών τιμών χωριστά. Στην συνέχεια με βάση το πρόβλημα των οριακών τιμών ορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες η συνάρτηση “Green”. Στην συνέχεια γίνεται χρήση της μεθόδου των κατοπτρικών ιδιομορφών έτσι ώστε η συνάρτηση “Green” να εκφραστεί σε σφαιροειδείς αρμονικές. Οι σφαιροειδείς αρμονικές εκφράζονται μέσω των συναρτήσεων Legendre πρώτου και δευτέρου είδους. Ύστερα από τον προσδιορισμό της συνάρτησης “Green” σε σφαιροειδής αρμονικές είναι εφικτός πλέον ο προσδιορισμός του δυναμικού της ταχύτητας για κάθε υδροδυναμικό πρόβλημα. Η όλη διαδικασία οδηγεί τελικά σε απλές αναλυτικές εκφράσεις για τις δυνάμεις και τις ροπές καθώς και των πρόσθετων μαζών και αποσβέσεων. Τα αποτελέσματα που εξήχθησαν από την παρούσα μέθοδο συγκρίθηκαν με τα αποτελέσματα του κώδικα “WAMIT”. Η ικανοποιητική σύγκλιση των αποτελεσμάτων εξασφαλίζει την ακρίβεια και την ορθότητα της μεθόδου. Εφόσον έχει εξασφαλιστεί η αξιοπιστία της μεθόδου για την περίπτωση όπου το βάθος του νερού είναι άπειρο, η μέθοδος επεκτείνεται και εφαρμόζεται για τα δυο αυτά υδροδυναμικά προβλήματα για ένα πλήρως βυθισμένο σφαιροειδές σώμα, το οποίο πλέον τοποθετείται σε πεπερασμένο βάθος νερού. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα των οριακών τιμών τροποποιείται όπως και η θεμελιώδης συνάρτηση “Green”. Η διαδικασία υπολογισμού παραμένει ίδια και επαναλαμβάνεται εξ αρχής. Ένα oblate (πεπλατυσμένο) σφαιροειδές μπορεί να προσομοιάσει μια σφαίρα ή έναν δίσκο στις δυο οριακές συνθήκες της γεωμετρίας του. Στην πρώτη περίπτωση το σφαιροειδές μπορεί να μετατραπεί σε σφαίρα ορίζοντας την μικρό ημι-άξονα να τείνει να είναι ίσος με τον μεγάλο ημι-άξονα, ενώ η όλη προσέγγιση του προβλήματος παραμένει ίδια χωρίς μεταβολές. Στην δεύτερη περίπτωση ο δίσκος προσεγγίζεται θέτοντας τον μικρό ημι-άξονα ίσο με μηδέν. Σαφώς, η προσέγγιση παραμένει αμετάβλητη, με την εξαίρεση της θεώρησης της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των συναρτήσεων Legendre για μηδενικό όρισμα. Για τις δυο αυτές γεωμετρίες μελετάται το πρόβλημα της περίθλασης και της ακτινοβολίας για άπειρο βάθος νερού. Τα αποτελέσματα που εξάγονται συγκρίνονται με υπάρχοντα δεδομένα της βιβλιογραφίας. Τέλος, η παρούσα έρευνα επεκτείνεται σε συστοιχίες σφαιροειδών σωμάτων, πλήρως βυθισμένων στην γενική περίπτωση πεπερασμένου βάθους νερού. Η ανάλυση αφορά μόνο το πρόβλημα της περίθλασης. Είναι σαφές ότι για τις περιπτώσεις υδροδυναμικά αλληλεπιδρώντων σωμάτων, οι υδροδυναμικές φορτίσεις επηρεάζονται από τις συνεχείς αλληλεπιδράσεις διαδιδόμενων κυματισμώνμε τους ανακλώμενους, από τα σώματα, κυματισμούς, και της συνεχούς υπέρθεσης των διαταραχών από τα σώματα. Η μεθοδολογία βασίζεται στη μελέτη ενός μόνο, τυχαία επιλεγμένου, σώματος από τη συστοιχία. Το σώμα δέχεται τον προσπίπτοντα κυματισμό και τις κυματικές διαταραχές που δημιουργούνται από το φαινόμενο περίθλασης σε κάθε σώματα της διάταξης ξεχωριστά. Το συνολικό κυματικό πεδίο εκφράζεται συναρτήσει του τοπικού συστήματος του σώματος που έχει επιλεχθεί. Κατ’ αυτόν τον τρόπο καθίσταται δυνατή η εφαρμογή της κινηματικής συνθήκης Neumann στο σώμα. Για την επίλυση και αυτού του προβλήματος χρησιμοποιείται η μέθοδος των κατοπτρικών ιδιόμορφών ώστε να εκφραστεί η συνάρτηση “Green” στο τοπικό σύστημα σε oblate σφαιροειδείς συντεταγμένες. Η μέθοδος των κατοπτρικών ιδιόμορφών αποδεικνύεται ότι είναι ικανή να περιγράψει τόσο το πρόβλημα της περίθλασης όσο και το πρόβλημα της ακτινοβολίας είτε για ένα μεμονωμένο πλήρως βυθισμένο oblate (πεπλατυσμένο) σφαιροειδές είτε μια συστοιχία που αποτελείται από πολλαπλά σώματα. Παρόλο που πρόκειται για μια επίπονη διαδικασία μαθηματικών επεξεργασιών και αναλύσεων είναι χρήσιμη καθώς τα αριθμητικά αποτελέσματα εξάγονται σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα και δεν απαιτείται ιδιαίτερα μεγάλη υπολογιστική ισχύ.