Numerical models and optimisation techniques for a circular cross-flow filtration device

Abstract

The main goal of this thesis is the hydrodynamical analysis of a membrane-based water purification system for potable use that exploits a circular cross-flow design. To that end, a description of the device is introduced and multiphysics problems involving both incompressible fluid flows and porous media flows are solved. The results from two modelling approaches are compared, one based on a coupled system formed by the Navier-Stokes equations and by Darcy’s law with ad-hoc coupling conditions, the other involving Brinkman’s equation. The computations are conducted using COMSOL, a commercial Finite Element solver, and the results are validated using experimental data. Computational modelling permits to identify and quantify flow instabilities (Dean vortices) close to the membrane’s surface, that may improve filtration performance as also evidenced by experimental work. The computation of Dean numbers indicate that the vortices become more pronounced for higher inlet pressure and enlarged aspect ratio of the free flow channel. Even if Brinkman’s model is easier to implement, the coupled Navier-Stokes-Darcy model permits to better represent the slip velocity on the interface. Both models require a large computational time so that they can become prohibitive to study several configurations of the device for optimisation purposes. For this reason, the Proper Generalized Decomposition (PGD) is introduced. It is able to obtain solutions of boundary value problems in closed form with explicit dependence on parameters that can be varied to achieve the optimal configuration of the system one wants to study. The focus shifts on the membrane domain only, where the use of the PGD to obtain a parametric solution depending both on material properties (the permeability of the membrane) and on operational ones (the inflow flux) is studied. The convergence speed of the PGD is foundto deteriorate as the number of parameters increase. To overcome this, the linearity of the problemis exploited to define an improved algorithm. Finally, possible techniques to combinePGD and domain decomposition methods are explored in order to obtain a parametric solution of a multiphysics problem in a complex domain. More specifically, both the classical Multiplicative Schwarz method accelerated by PGD and the overlapping Arlequin method are considered. A variant of the latter is proposed that provides similar results to the original method but has the advantage of not requiring to compute quantities on the overlapping region. This could possibly result in a simpler implementation and reduced computational cost, especially in 3D cases. The methods presented and developed in this thesis can be used as the foundation towards the parametric optimisation of the filtration device.

Ο κύριος στόχος αυτής της διατριβής είναι η υδροδυναμική ανάλυση ενός συστήματος καθαρισμού νερού για πόσιμη χρήση που βασίζεται σε μεμβράνη και εκμεταλλεύεται έναν κυκλικό σχεδιασμό διασταυρούμενης ροής. Προς αυτόν τον σκοπό, εισάγεται μια περιγραφή της συσκευής και επιλύονται προβλήματα φυσικής που αφορούν τόσο ροές ασυμπίεστων ρευστών όσο και ροές μέσω πορωδών μέσων. Τα αποτελέσματα από δύο προσεγγίσεις μοντελοποίησης συγκρίνονται, με τη μία να βασίζεται σε ένα συζευγμένο σύστημα που σχηματίζεται από τις εξισώσεις Navier-Stokes και τον νόμο του Darcy με συγκεκριμένες συνθήκες σύζευξης, και την άλλη να περιλαμβάνει την εξίσωση του Brinkman. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με τη χρήση του COMSOL, ενός εμπορικού λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων, και τα αποτελέσματα επαληθεύονται με τη χρήση πειραματικών δεδομένων. Η υπολογιστική μοντελοποίηση επιτρέπει την αναγνώριση και την ποσοτικοποίηση των αστάθειων ροής (δίνες Dean) κοντά στην επιφάνεια της μεμβράνης, που βελτιώνουν την απόδοση φιλτραρίσματος, όπως επίσης αποδεικνύεται από την πειραματική εργασία. Ο υπολογισμός του αδιάστατου αριθμού Dean υποδεικνύει ότι οι δίνες γίνονται πιο έντονες με υψηλότερη εισερχόμενη πίεση και αυξημένο λόγο διαστάσεων της ελεύθερης ροής. Αν και το μοντέλο του Brinkman είναι πιο εύκολο στην εφαρμογή, το συζευγμένο μοντέλο Navier-Stokes-Darcy επιτρέπει καλύτερη αναπαράσταση της ταχύτητας ολίσθησης στη διεπιφάνεια. Και τα δύο μοντέλα απαιτούν μεγάλο υπολογιστικό χρόνο, με αποτέλεσμα να είναι απαγορευτικά για τη μελέτη πολλαπλών διαμορφώσεων της συσκευής για σκοπούς βελτιστοποίησης. Για τον λόγο αυτό, εισάγεται η Μέθοδος Proper Generalized Decomposition (PGD). Αυτή μπορεί να εξασφαλίσει λύσεις προβλημάτων οριακών τιμών σε κλειστή μορφή με ρητή εξάρτηση από παραμέτρους που μπορούν να μεταβληθούν για την επίτευξη της βέλτιστης διαμόρφωσης του συστήματος που μελετάται. Η προσοχή μετατοπίζεται αποκλειστικά στο πεδίο της μεμβράνης, όπου εξετάζεται η χρήση της PGD για την απόκτηση παραμετρικής λύσης που εξαρτάται τόσο από τις ιδιότητες του υλικού (διαπερατότητα της μεμβράνης) όσο και από λειτουργικές παραμέτρους (εισερχόμενη ροή). Διαπιστώνεται ότι η ταχύτητα σύγκλισης της PGD επιδεινώνεται με την αύξηση του αριθμού των παραμέτρων. Για να ξεπεραστεί αυτό, η γραμμικότητα του προβλήματος αξιοποιείται για τον ορισμό ενός βελτιωμένου αλγορίθμου. Τέλος, διερευνώνται πιθανές τεχνικές για τον συνδυασμό της PGD με μεθόδους αποσύνθεσης του πεδίου (Domain Decomposition) για την επίτευξη μιας παραμετρικής λύσης ενός φυσικού προβλήματος σε ένα σύνθετο πεδίο. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζονται τόσο η κλασική πολλαπλασιαστική μέθοδος Schwarz επιταχυμένη από την PGD όσο και η μερικώς επικαλυπτόμενη μέθοδος Arlequin. Προτείνεται μια παραλλαγή της δεύτερης που παρέχει παρόμοια αποτελέσματα με την αρχική μέθοδο αλλά έχει το πλεονέκτημα να μην απαιτεί τον υπολογισμό ποσοτήτων στην επικαλυπτόμενη περιοχή. Αυτό θα μπορούσε ενδεχομένως να οδηγήσει σε μια απλούστερη υλοποίηση και μειωμένο υπολογιστικό κόστος, ειδικά σε τρισδιάστατες περιπτώσεις. Οι μέθοδοι που παρουσιάζονται και αναπτύσσονται σε αυτήν τη διατριβή μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση για τη βελτιστοποίηση της παραμετρικής κατασκευής της συσκευής φιλτραρίσματος.