Σχεδιασμός κατατομών οδοντωτών τροχών για τη βελτιστοποίηση του βαθμού απόδοσης και της δυναμικής τους συμπεριφοράς

Abstract

This doctoral dissertation focuses on developing methods for the optimal design of spur gear profiles to enhance their efficiency and dynamic behavior. Despite being one of the oldest and most widespread transmission systems, gear technology is evolving due to new technological developments, particularly the shift towards electrification and electric vehicles. These changes, driven also by legislative frameworks, have created new requirements for gear characteristics, primarily minimizing power losses and achieving quiet operation. As demonstrated through the literature review, modern research on gears aligns with these industry needs, emphasizing the optimization of gear characteristics through robust and reliable simulation tools. This dissertation contributes to this field by focusing on the optimal design of gear tooth profiles, which significantly influence operational characteristics. A review of relevant literature suggests that gear profile optimization falls into two major categories: optimization centered on the involute curve and optimization using alternative curves as gear profiles. The optimization of involute gears holds the greatest practical value for industrial applications, which almost exclusively use involute gears in all gear transmissions. In contrast, designing alternative profiles can significantly improve design criteria by allowing more freedom in selecting the shape of the mating profiles. To provide various approaches to profile design, enabling the designer to choose the most suitable approach depending on the application, this dissertation explores both major avenues for gear optimization. In the field of involute gears, the dissertation focuses on optimizing the parameters of their macro-geometry (e.g., number of teeth, module, face width). This approach minimizes the cost of gear manufacture or procurement while maintaining the advantages of availability and interchangeability that involute gears offer. On the other hand, in the field of non-involute gears, the dissertation develops a comprehensive methodology for the optimal design of free-form tooth flanks. Although this area has garnered less research interest, it offers the greatest freedom to designers and the most potential for improving gear performance. The primary effort in the macro-geometric optimization of involute gears was the incorporation of the dynamic response of the gears into the design criteria. Improving the dynamic behavior of the gears was achieved by minimizing the static transmission error (STE). To calculate STE, a numerical model was developed that includes tooth contact analysis and the calculation of mesh stiffness and load distribution. Although the numerical model offers high accuracy at a competitive computational cost, a surrogate model was developed in this dissertation to further reduce computational costs, which is crucial for establishing a robust optimization process. For the construction of the surogate model, neural networks, specifically Feed Forward Neural Networks (FFNN), were used to predict the entire STE curve based on the geometric and operational parameters of the gear pair. The designed neural network achieves a mean absolute percentage error of 0.395%, which is satisfactory for using the STE as a criterion for the dynamic behavior of the gears, since it results in an average error of only 0.05% in simulating the dynamic response of the gears. Additionally, it improved computation time by three orders of magnitude, reducing the time from 3 seconds to 0.001 seconds on a conventional personal computer. The developed optimization algorithm uses NSGA-II for multi-objective optimization, aiming to simultaneously reduce weight, power losses, and the levels of noise and vibrations. Through the case studies examined, valuable conclusions were drawn regarding the correlation of criteria and design variables, leading to generalized guidelines for selecting macro-geometric parameters when designing a gear transmission. Specifically, in certain applications, power losses were reduced by up to 40.8%, and vibration amplitude was reduced by up to 72.3%. Reducing the STE amplitude (peak-to-peak error) proved to be a highly effective method for improving the dynamic behavior of gears, especially in high-speed and high-load operations. It was also found that reducing the vibration amplitude requires ensuring a high contact ratio. Furthermore, during the parameter selection process of a gear stage, it was found that the best compromise between design criteria is achieved by maximizing the number of teeth, which is the controlling factor in gear optimization, and subsequently reducing the module and the width of the gears to compensate for the increase in the dimensions and weight of the transmission. Significant reductions in power losses and STE amplitude can also be achieved by simultaneously increasing the profile shift coefficients of the gears. In the field of non-involute gears, a comprehensive methodology for the optimal design of free-form tooth flanks is presented for the first time in this dissertation. The optimization of free-form tooth flanks is distinct from other optimization approaches as it does not aim to optimize the geometric characteristics of a given profile (involute or non-involute) to improve gear performance, but instead, it treats the profile geometry itself as a design variable. To effectively modify the profile geometry during the optimization process, the pinion profile is represented by a parametric B-spline curve, with its control points used as design variables. Each different pinion profile uniquely corresponds to a specific profile for the mating gear. However, calculating the conjugate geometry presents challenges, notably the need for a numerical solution to an implicit equation when following the classical analytical theory of gearing. To address these issues, a new, fully analytical and reliable approach for calculating the mating geometries was developed. A significant contribution of this dissertation is the formulation of clear, mathematically defined geometric constraints regarding the compliance of the generated profiles with the law of gearing and the avoidance of cusps and discontinuities in the mating profiles. During the research, closed-form analytical relationships were developed and presented, allowing verification of compliance with the geometric constraints from the moment the free-form curve is generated. This led to valuable conclusions regarding their permissible forms. As demonstrated by the case studies, the improvement in design criteria exceeded 50% compared to standard involute gears. Specifically, the optimized profiles achieved reductions in the mean value of relative curvature by up to 65.4%, the maximum value by up to 82.9%, the standard deviation by up to 99.9%, the average wear depth along the contact path by up to 54%, and the maximum wear depth by up to 69%. The superiority of free-form gears was further proven through experiments comparing their wear characteristics to conventional involute gears, showing an improvement in average wear depth by 44.1%. Additionally, while the reduction of the contact ratio is generally an inevitable consequence of using non-involute gears, the free-form profile optimization process can lead to designs that combine significant improvements in gear characteristics while ensuring contact ratios similar to or greater than those of corresponding involute gears. Finally, a general conclusion of the research, which applies to involute gears as well, is that to improve most key gear characteristics (power losses, wear, strength, and, to a lesser extent, STE peak-to-peak), the profiles tend to increase their slope. A direct consequence of this profile shape is the reduction in the contact ratio, highlighting the need to achieve an appropriate compromise between the degree of profile slope and the contact ratio as one of the primary objectives of gear optimization.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει ως αντικείμενο την ανάπτυξη μεθόδων για τον βέλτιστο σχεδιασμό των κατατομών μετωπικών οδοντωτών τροχών με στόχο τη βελτίωση των επιδόσεών τους σε τομείς όπως ο βαθμός απόδοσης και η δυναμική συμπεριφορά. Αν και οι οδοντωτοί τροχοί είναι ένα από τα αρχαιότερα και πλέον διαδεδομένα συστήματα μετάδοσης κίνησης και ισχύος, οι νέες τεχνολογικές εξελίξεις, με κορυφαία τη στροφή προς την ηλεκτροκίνηση και τα ηλεκτρικά οχήματα που επιχειρείται πλέον και σε νομοθετικό πλαίσιο, έχουν οδηγήσει στη διαμόρφωση νέων απαιτήσεων σχετικά με τα ζητούμενα χαρακτηριστικά των τροχών, που αφορούν κυρίως την ανάγκη για ελαχιστοποίηση των απωλειών ισχύος και την επίτευξη αθόρυβης λειτουργίας. Όπως αποδείχθηκε μέσα από τη βιβλιογραφική έρευνα, ο κύριος πυλώνας της σύγχρονης έρευνας πάνω στους οδοντωτούς τροχούς συμβαδίζει με αυτές τις ανάγκες της βιομηχανίας, καθώς αφορά τη βελτιστοποίηση των χαρακτηριστικών των τροχών μέσω της ανάπτυξης εύρωστων και αξιόπιστων εργαλείων προσομοίωσης της λειτουργίας τους.Προκειμένου να συνεισφέρει σε αυτή την κατεύθυνση, η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στον βέλτιστο σχεδιασμό των κατατομών των οδόντων των τροχών, οι οποίες καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τα χαρακτηριστικά της λειτουργίας τους. Μελετώντας κανείς τη σχετική βιβλιογραφία μπορεί να συμπεράνει ότι η βελτιστοποίηση των κατατομών των οδοντωτών τροχών χωρίζεται σε δύο μεγάλες κατηγορίες· τη βελτιστοποίηση που γίνεται με επίκεντρο την εξειλιγμένη καμπύλη και τη βελτιστοποίηση που αφορά την αξιοποίηση εναλλακτικών καμπυλών ως κατατομές των τροχών. Η βελτιστοποίηση των τροχών εξειλιγμένης παρουσιάζει τη μεγαλύτερη πρακτική αξία για τις βιομηχανικές εφαρμογές που σχεδόν αποκλειστικά χρησιμοποιούν τροχούς εξειλιγμένης σε όλες τις οδοντωτές μεταδόσεις, ενώ ο σχεδιασμός εναλλακτικών κατατομών έχει τη δυναμική να οδηγήσει σε μεγαλύτερη βελτίωση των κριτηρίων σχεδιασμού επιτρέποντας μεγαλύτερη ελευθερία στην επιλογή της μορφής των συνεργαζόμενων κατατομών. Με σκοπό την ανάπτυξη ποικίλων, διαφορετικών προσεγγίσεων στον σχεδιασμό των κατατομών, ώστε να μπορεί ο σχεδιαστής μηχανικός να διαλέγει την καταλληλότερη προσέγγιση κάθε φορά ανάλογα με την εφαρμογή, η παρούσα διατριβή εμβαθύνει και στις δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τη βελτιστοποίηση των τροχών. Στον τομέα των τροχών εξειλιγμένης, η διατριβή επικεντρώνεται στη βελτιστοποίηση των παραμέτρων της μακρο-γεωμετρίας τους (π.χ. αριθμός οδόντων, module, πλάτος), καθώς η προσέγγιση αυτή συνεπάγεται την μικρότερη οικονομική επιβάρυνση για την κατασκευή ή την προμήθειά των τροχών και διατηρεί τα πλεονεκτήματα της διαθεσιμότητας και της εναλλαξιμότητας που προσεφέρουν οι τροχοί εξειλιγμένης. Από την άλλη πλευρά, στον τομέα των τροχών μη-εξειλιγμένης η διατριβή εμβαθύνει στην ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης μεθοδολογίας βέλτιστου σχεδιασμού κατατομών ελευθέρας μορφής, που αν και παρουσιάζει το μικρότερο ερευνητικό ενδιαφέρον στη βιβλιογραφία, εντούτοις προσφέρει τη μεγαλύτερη ελευθερία στον σχεδιαστή και το μεγαλύτερο περιθώριο βελτίωσης των επιδόσεων των τροχών.Η κύρια προσπάθεια που έγινε στο πλαίσιο της μακρο-γεωμετρικής βελτιστοποίησης των τροχών εξειλιγμένης ήταν η ενσωμάτωση της δυναμικής απόκρισης των τροχών στα κριτήρια σχεδιασμού της βελτιστοποίησης. Η βελτίωση της δυναμικής συμπεριφοράς των τροχών επιχειρείται μέσω της ελαχιστοποίησης του πλάτους του στατικού σφάλματος μετάδοσης (Static Transmission Error - STE). Για τον υπολογισμό του STE αναπτύσσεται ένα αριθμητικό μοντέλο που περιλαμβάνει τον υπολογισμό της τροχιάς επαφών (tooth contact analysis), των ενδοτικοτήτων των οδόντων και της κατανομής του φορτίου. Παρότι το αριθμητικό μοντέλο προσφέρει μεγάλη ακρίβεια και ανταγωνιστικό υπολογιστικό κόστος, επιχειρήθηκε στο πλαίσιο της διατριβής η δημιουργία ενός ισοδύναμου μοντέλου για την ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού κόστους που είναι κρίσιμο για την κατάστρωση μίας εύρωστης διαδικασίας βελτιστοποίησης. Για την κατασκευή του ισοδύναμου μοντέλου εξετάστηκε η αξιοποίηση νευρωνικών δικτύων και συγκεκριμένα νευρωνικών δικτύων πρόσθιας τροφοδότησης (Feed Forward Neural Network – FFNN) για την πρόβλεψη του συνόλου της καμπύλης του STE με δεδομένες τις γεωμετρικές και λειτουργικές παραμέτρους του ζεύγους των τροχών. Το νευρωνικό δίκτυο που σχεδιάστηκε πετυχαίνει ένα μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα πρόβλεψης του STE της τάξης του 0,395%, που όπως αποδείχθηκε είναι ικανοποιητικό για τη χρήση του STE ως κριτήριο για τη δυναμική συμπεριφορά των τροχών, καθώς οδηγεί σε ένα μέσο σφάλμα κατά την προσομοίωση της δυναμικής απόκρισης των τροχών της τάξης μόλις του 0,05%. Παράλληλα, οδήγησε σε βελτίωση του χρόνου υπολογισμού κατά τρείς τάξεις μεγέθους, μειώνοντας το χρόνο υπολογισμού από τα 3 δευτερόλεπτα στα 0,001 δευτερόλεπτα (χρόνοι για έναν συμβατικό προσωπικό υπολογιστή). Ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης που αναπτύχθηκε βασίζεται στη χρήση του NSGA-II για τη διεξαγωγή πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης με στόχο την ταυτόχρονη μείωση του βάρους, των απωλειών ισχύος και του επιπέδου του θορύβου και των ταλαντώσεων. Μέσα από τις μελέτες περίπτωσης που εξετάστηκαν προέκυψαν πολύτιμα συμπεράσματα σχετικά με τη συσχέτιση των κριτηρίων και των μεταβλητών σχεδιασμού και γενικευμένες κατευθύνσεις για την επιλογή των μακρο-γεωμετρικών παραμέτρων κατά τον σχεδιασμό μίας οδοντωτής μετάδοσης. Πιο συγκεκριμένα σε συγκεκριμένες εφαρμογές επιτεύχθηκε μείωση των απωλειών ισχύος έως και 40,8% και μείωση του πλάτους των ταλαντώσεων έως και 72,3%. Η μείωση του πλάτους του STE (peak-to-peak error) αποδείχθηκε πολύ αποτελεσματική μέθοδος της βελτίωσης της δυναμικής συμπεριφοράς των τροχών ιδιαίτερα σε λειτουργία με υψηλές στροφές και υψηλό φορτίο, ενώ διαπιστώθηκε ότι για τη μείωση του πλάτους των ταλαντώσεων είναι απαραίτητη η εξασφάλιση υψηλού λόγου επικαλύψεως. Επιπλέον, κατά τη διαδικασία επιλογής των παραμέτρων μίας βαθμίδας οδοντωτών τροχών διαπιστώθηκε πως ο καλύτερος συμβιβασμός μεταξύ των κριτηρίων σχεδιασμού επιτυγχάνεται μέσω της μεγιστοποίησης του αριθμού των οδόντων, που αποτελεί τον ρυθμιστικό παράγοντα κατά τη βελτιστοποίηση των τροχών, και της επακόλουθης μείωσης του module και του πλάτους των τροχών για να αντισταθμιστεί η αύξηση των διαστάσεων και του βάρους της μετάδοσης. Επίσης, σημαντική μείωση των απωλειών ισχύος και του πλάτος του STE μπορεί να επιτευχθεί με την ταυτόχρονη αύξηση των συντελεστών μετατόπισης των τροχών.Στον τομέα των τροχών μη-εξειλιγμένης παρουσιάστηκε στο πλαίσιο της διατριβής για πρώτη φορά μία ολοκληρωμένη μεθοδολογία βέλτιστου σχεδιασμού κατατομών ελευθέρας μορφής. Η βελτιστοποίηση κατατομών ελευθέρας μορφής διακρίνεται από τις άλλες προσεγγίσεις βελτιστοποίησης καθώς δεν προσπαθεί να βελτιστοποιήσει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός δεδομένου προφίλ (εξειλιγμένης ή μη) για τη βελτίωση των επιδόσεων των τροχών, αλλά αντιμετωπίζει την ίδια τη γεωμετρία της κατατομής ως μεταβλητή σχεδιασμού. Για την αποτελεσματική τροποποίηση της γεωμετρίας της κατατομής κατά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης, η κατατομή του pinion παριστάνεται από μία παραμετρική καμπύλη B-spline, τα σημεία ελέγχου της οποίας χρησιμοποιούνται ως μεταβλητές σχεδιασμού. Κάθε διαφορετικό προφίλ της κατατομής του pinion αντιστοιχίζεται μονοσήμαντα σε ένα συγκεκριμένο προφίλ για τον συνεργαζόμενο τροχό. Ωστόσο, ό τρόπος υπολογισμού της συνεργαζόμενης γεωμετρίας με αρχικό προφίλ την κατατομή του pinion παρουσιάζει προβλήματα, με κορυφαίο την ανάγκη αριθμητικής επίλυσης πεπλεγμένης εξίσωσης όταν ακολουθείται η κλασική αναλυτική θεωρία οδόντωσης. Για την αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών, αναπτύχθηκε μία νέα προσέγγιση για τον υπολογισμό των συνεργαζόμενων γεωμετριών (όταν αρχική γεωμετρία είναι το προφίλ του pinion), η οποία γίνεται πλήρως αναλυτικά και αξιόπιστα. Η πιο σημαντική όμως συνεισφορά της διατριβής στην ανάπτυξη μίας εύρωστης διαδικασίας βελτιστοποίησης των κατατομών ελευθέρας μορφής είναι η διατύπωση σαφών και μαθηματικώς αυστηρά ορισμένων γεωμετρικών περιορισμών που αφορούν τη συμμόρφωση των παραγόμενων κατατομών στο βασικό νόμο οδόντωσης και την αποφυγή σχηματισμού ακμών και ασυνεχειών στο σώμα των συνεργαζόμενων κατατομών. Στο πλαίσιο της έρευνας αναπτύχθηκαν και παρουσιάστηκαν κλειστές αναλυτικές σχέσεις που επιτρέπουν τη διαπίστωση της συμμόρφωσης στους γεωμετρικούς περιορισμούς ήδη από τη στιγμή που παράγεται η καμπύλη ελευθέρας μορφής, οδηγώντας και στην εξαγωγή πολύτιμών συμπερασμάτων για την επιτρεπόμενη μορφή τους. Όπως αποδείχθηκε από τις μελέτες περίπτωσης που εξετάστηκαν, η βελτίωση στα κριτήρια σχεδιασμού ξεπερνούσε κατά πολύ το 50% συγκριτικά με τη χρήση συμβατικών τροχών εξειλιγμένης. Πιο συγκεκριμένα, οι βελτιστοποιημένες κατατομές που σχεδιάστηκαν μπορούν να επιτύχουν μείωση της μέσης τιμής της σχετικής καμπυλότητας έως και 65,4%, μείωση της μέγιστης τιμής της έως και 82,9%, μείωση της τυπικής της απόκλισης έως και 99,9%, μείωση της μέσου βάθους φθοράς κατά μήκος της τροχιάς επαφών έως και 54% και μείωση της μέγιστης τιμής του βάθους φθοράς έως και 69%. Η ανωτερότητα των χαρακτηριστικών των τροχών ελευθέρας μορφής αποδείχθηκε και μέσω πειραμάτων που έγιναν για τον έλεγχο της φθοράς τους συγκριτικά με τους αντίστοιχους συμβατικούς τροχούς εξειλιγμένης και παρουσίασαν βελτίωση στο μέσο βάθος φθοράς της τάξης του 44,1%. Επιπλέον, αν και η μείωση του λόγου επικαλύψεως είναι κατά κανόνα αναπόφευκτη συνέπεια της χρήσης τροχών μη-εξειλιγμένης, η μέθοδος βελτιστοποίησης κατατομών ελευθέρας μορφής μπορεί να οδηγήσει στον σχεδιασμό κατατομών που συνδυάζουν μεγάλη βελτίωση των χαρακτηριστικών των τροχών και ταυτόχρονα στην εξασφάλιση λόγων επικαλύψεως αντίστοιχων ή μεγαλύτερων από εκείνους των αντίστοιχων τροχών εξειλιγμένης. Τέλος, ένα γενικότερο συμπέρασμα της έρευνας που ισχύει και για τους τροχούς εξειλιγμένης, είναι ότι για τη βελτίωση των περισσότερων βασικών χαρακτηριστικών των τροχών (απώλειες ισχύος, φθορά, αντοχή και σε λιγότερο βαθμό πλάτος STE) οι κατατομές έχουν την τάση να αυξάνουν την κλίση τους. Άμεση συνέπεια της μορφής αυτής των κατατομών είναι η μείωση του λόγου επικαλύψεως οδηγώντας ανάδειξη της ανάγκης επίτευξης του κατάλληλου συμβιβασμού μεταξύ του βαθμού κλίσης των κατατομών και του λόγου επικαλύψεως ως ένα από τα βασικότερα ζητούμενα της βελτιστοποίησης των οδοντωτών τροχών.