Numerical analysis in parameter identification problems

Abstract

This thesis is devoted to the derivation of rigorous residual-type a posteriori error estimates for the Robin coefficient parameter identification bilinear inverse problem subject to elliptic and parabolic partial differential equations as constraints. Motivated by the optimization problems at have, we first prove L2-like norm residual typea posteriori error estimates for finite element methods for elliptic partial differential equations with non-essential boundary conditions, such as Neumann or Robin type. To ensure the proof of lower bounds (efficiency), a non-standard mesh-dependent L2-like norm is used for the error. The proof of lower bounds requires a carefully constructed C1-conforming’bubble’-function. A series of extensive numerical experiments is presented, showcasing the good performance of the estimators. The main objective is the proof of a posteriori error estimates for the stationary identification inverse problem of the Robin coefficient. More specifically, with the use of the second order sufficient condition, initially we prove estimates with upper bounds in L2-norm and later on, we derive a a posteriori error estimates with upper and lower bounds in H1-norm,in a fully discrete scheme. We also prove the corresponding a posteriori error estimates in the context of the variational approach and for a, so-called, semi discrete scheme, resulting in upper and lower bounds in the H1-norm.Finally, we prove an a posteriori error estimate for the inverse problem of estimating the spatially-and-temporally dependent heat transfer coefficient. We work on a fully-discrete scheme based on the discontinuous-in time-Galerkin dG(0) framework and finite elements in space and we carefully design elliptic and time reconstructions for the discrete state and ad joint equation, to obtain the desirable result. The main challenge in the proof of the estimators is, again, the bilinear nature of the problem, which multiplying the control (Robin coefficient) by the state variable. To circumvent this, a second order sufficient optimality condition is postulated, offering the required stability to facilitate the proof.

Η παρούσα διατριβή αφορά την απόδειξη αυστηρών εκ των υστέρων εκτιμήσεων σφάλματος τύπου-υπολοίπου, για το αντίστροφο, διγραμμικό πρόβλημα ταυτοποίησης παραμέτρου του συντελεστή Robin, με ελλειπτικές και παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ως περιορισμούς. Με κίνητρο τα προβλήματα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζουμε, αρχικά αποδεικνύουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος τύπου-υπολοίπου, σε μία τύπου L2-νόρμα, για μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων, για ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, με συνοριακές συνθήκες Neumann ή Robin. Για να διασφαλιστεί η απόδειξη του κάτω φράγματος (αποτελεσματικότητα), χρησιμοποιείται μια μη τετριμμένη, εξαρτώμενη από το πλέγμα, τύπου L2-νόρμα για το σφάλμα. Η απόδειξη του κάτω φράγματος απαιτεί μια προσεκτικά κατασκευασμένη συνάρτηση-"φυσαλίδα'' ("bubble''-function), με C1-συμμόρφωση. Παρουσιάζεται μια σειρά από εκτεταμένα αριθμητικά πειράματα, που επιδεικνύουν την καλή απόδοση των εκτιμητών. Ο κύριος στόχος είναι η απόδειξη εκ των υστέρων εκτιμήσεων σφάλματος για το χρονικά σταθερό, αντίστροφο πρόβλημα ταυτοποίησης του συντελεστή Robin. Πιο συγκεκριμένα, με τη χρήση της συνθήκης βελτιστότητας δεύτερης τάξης, αρχικά αποδεικνύουμε εκτιμήσεις με άνω φράγμα στην L2-νόρμα και αργότερα και στη συνέχεια εκτιμήσεις σφάλματος με άνω και κάτω φράγμα στην H1-νόρμα, σε ένα πλήρως διακριτό σχήμα. Αποδεικνύουμε επίσης τις αντίστοιχες εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος στο πλαίσιο της μεταβολικής προσέγγισης και για το, λεγόμενο, ημιδιακριτό σχήμα, καταλήγοντας σε άνω και κάτω φράγμα στην H1-νόρμα. Τέλος, αποδεικνύουμε εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος για το αντιστροφό πρόβλημα εκτίμησης του χωρικά-και-χρονικά εξαρτώμενου συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Εργαζόμαστε πάνω σε ένα πλήρως διακριτοποιημένο σχήμα βασισμένο στην ασυνεχή-στο χρόνο-μέθοδο Galerkin dG(0), με πεπερασμένα στοιχεία στο χώρο. Σχεδιάζουμε προσεκτικά ελλειπτικές και χρονικές ανακατασκευές για το πρωτεύον και το συζηγές πρόβλημα, προκειμένου να επιτύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η κύρια πρόκληση στην απόδειξη των εκτιμητών είναι, και πάλι, η διγραμμική φύση του προβλήματος, κατά την οποία πολλαπλασιάζεται ο έλεγχος (συντελεστής Robin) με τη μεταβλητή του πρωτεύοντος προβλήματος. Για να ξεπεραστεί αυτό, διατυπώνεται μια συνθήκη βελτιστότητας δεύτερης τάξης, προσφέροντας την απαιτούμενη ευστάθεια για την απόδειξη.