Implementation of the boundary representations of CAD geometries in gradient-based optimization

Abstract

This PhD thesis deals with the coupling of CAD-parameterized geometries with adjoint-based shape optimization. The mathematical formulation of methods forthe inclusion of a CAD design in the optimization loop are shown and tested in applications in aerodynamics. The computation of the derivatives of various aerodynamicobjective functions with respect to (w.r.t.) the CAD design variables is performed based on continuous adjoint running in the OpenFOAM environment.CAD geometries may have two parameterizations: (a) a feature tree parameterization which is practically the definition of geometric relations in the 3Dspace and also the native parameterization of CAD packages that generate them and (b) a surface parameterization which is defined and transferred by the standardBoundary Representation (BRep) format. The latter is simply a collection of surface patches that define the CAD model, defined by standard mathematicalforms (mainly NURBS). In this thesis, BRep is used to express the CAD geometry because its standardized open-source format allows its direct coupling withComputational Fluid Dynamics (CFD) software and, also, its differentiation which is necessary in gradient-based optimization. The feature tree parameterizationis almost never accessible via open formats which makes its direct linking to optimization impossible. The first step is the generation of a quality triangulation of the surface of the CAD model. This is because, in order to insert the CAD model into the optimizationloop, it is necessary to mesh the 3D space around (or inside) it. The boundary of the domain to be meshed, in a tesselated (most commonly triangulated) formis the input to the meshing software. The triangulation process is subdivided into three main tasks: shape healing which is a process overcoming possible (butquite common) CAD model defects, size map computation which pre-computes the optimal size of the triangulation on a background grid and, finally, the surfacetriangulation itself. Shape healing handles the topological and geometric holes that commonly exist in a CAD model which is transferred via a standardfile (STEP, IGES, etc.). The topological holes are fixed by performing vicinity tests, and the geometric holes are fixed by performing a sewing algorithm based onPlate Energy Minimization. Then, on the "healed" CAD model, the size map is computed using two dimensionless parameters, one controlling the triangle sizebased on local curvature, and the other controlling the triangle size gradation. Both parameters produce the size map on a coarse background grid computedvia Delaunay triangulation. Finally, the triangulation is performed on each CAD patch separately, by using a version of the Advancing Front technique adapted toparametric surfaces. The second step in this thesis is the establishment of the shape parameterization scheme which will provide a robust method to deform the shape. Thisis necessary because CAD designs are strongly related to their source parameterization which is defined via feature trees and cannot be accessed via external software. CAD packages (commercial or not) have different source parameterizations and their vendors are very sensitive about them. The CAD models must,therefore, be parameterized via their surface representation which is available via the BRep format and transferred by standard files. The surfaces comprising aCAD model are trimmed parametric patches that exist as autonomous entities which makes them unfit as shape deformation tools. This is because, displacingthem would create C0 and C1 discontinuities in the CAD model. To tackle this challenge, all parametric patches are converted to NURBS and a method that imposesdesired continuity constraints on their trimming curves is developed. Based on this method, a new parameterization is defined which inherently satisfies theseconstraints by computing the Kernel of the Jacobian of all constraints. Apart from continuity constraints, the imposition of various other geometricconstraints can be a key factor in CAD-based optimization. Constraints can naturally be defined in a CAD model via the feature trees. However, as mentionedabove, the feature trees cannot be accessed and used to deform the shape. Therefore, constraints must be defined on the surfaces of the CAD model. In this thesis,a method is developed to make possible the imposition of multi-node constraints on NURBS patches. Depending on the type of constraints and the complexity of the CAD surfaces, the number of node-wise constraints may become huge. Traditional constrained optimization techniques (i.e. SQP or Gradient projection)assume a priori that the number of constraints is less than or equal to the number of design variables. In the case of NURBS-based optimization, this can becomeproblematic as the design variables are the control point coordinates which are vastly outnumbered by the number of boundary mesh nodes on the design surface.For this reason, all constraints are cast into a single equality constraint. Nodal constraint violations are penalized based on a quartic function that returnsa positive value if the constraint is violated and zero otherwise. The penalties are then summed up to create a single constraint. The effectiveness of the single constraintis tested by constraining surface curvature, and enclosing constraints (i.e. constraints that demand that the model moves within a given space). For completeness,the inequality constraint of the volume of a given model is presented, to demonstrate a way of handling non-node wise constraints. The developed software is applied to the design/optimization of test cases such as passenger cars, automotive cooling and intake ducts, diffusers and turbomachineryblades.

Η διδακτορική αυτή διατριβή ασχολείται με την εισαγωγή γεωμετριών, παραμετροποιημένων με CAD σχήματα, στη ϐελτιστοποίηση μορφής ϐασισμένη στη μέθοδο των συζυγών μεταβλητών. Παρουσιάζονται η μαθηματική διατύπωση και υλοποίηση μεθόδων που καθιστούν εφικτή την εισαγωγή του CAD σχεδιασμού σε ϐρόχο ϐελτιστοποίησης καθώς και ο έλεγχος των μεθόδων αυτών σε εφαρμογές της αεροδυναμικής. Ο υπολογισμός των παραγώγων ευαισθησίας διαφόρων αεροδυναμικών συναρτήσεων-στόχων ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού του CAD γίνεται με τη συνεχή συζυγή μέθοδο.Οι γεωμετρίες CAD μπορεί να έχουν δύο ειδών παραμετροποιήσεις: (α) την παϱαμετροποίηση δέντρου στοιχείων που ορίζει γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ στοιχείων σχεδιασμού και είναι η ϕυσική παραμετροποίηση των CAD πακέτων και (ϐ) την επιφανειακή παραμετροποίηση που περιγράφεται και μεταφέρεται από το πρότυπο της Συνοριακής Περιγραφής. Η Συνοριακή Περιγραφή (Boundary Representation - BRep) αποτελείται από μία συλλογή επιφανειών που ορίζουν ένα CAD μοντέλο και ορίζονται από πρότυπες μαθηματικές περιγραφές (κυρίως NURBS). Σε αυτήν τη διατριβή, η BRep χρησιμοποιείται ως μέσο περιγραφής των CAD γεωμετριών καθώς η προτυποποιημένη, ανοιχτού κώδικα μορφή της, επιτρέπει τη σύνδεση των γεω-μετριών με λογισμικά Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής (ΥΡΔ) καθώς και τη χωρική διαφόρισή τους, που είναι χρήσιμη κατά τη διάρκεια της ϐελτιστοποίησης. Η παϱαμετροποίηση δέντρου, είναι σπανίως διαθέσιμη σε ανοιχτή μορφή, πράγμα που κάνει τη σύνδεσή της με τη ϐελτιστοποίηση αδύνατη. Το πρώτο ϐήμα της διατριβής είναι η γένεση ενός ποιοτικού πλέγματος με τριγωνικά στοιχεία στις επιφάνειες του CAD μοντέλου. Αυτό συμβαίνει καθώς, για να εισαχθεί το CAD στο ϐρόχο ϐελτιστοποίησης είναι απαραίτητη η πλεγματοποίηση του 3Δ χώρου γύρω (ή εντός) της γεωμετρίας του. Στα λογισμικά πλεγματοποίησης, συνήθως, παρέχεται το όριο του χωρίου που ϑα πλεγματοποιηθεί σε διακριτή (πιο συχνά τριγωνοποιημένη) μορφή. Η διαδικασία τριγωνοποίησης χωρίζεται σε τρία ϐήματα: (α) επισκευή μοντέλου, που είναι μια διαδικασία που επιλύει αρκετάσυνήθη γεωμετρικά και τοπολογικά σφάλματα CAD γεωμετριών που εμπεριέχονται σε πρότυπα αρχεία (STEP, IGES κλπ.) (ϐ) υπολογισμός μίας χαρτογράφησης του ϐέλτιστου μεγέθους τριγώνων σε ένα δευτερεύον πλέγμα και (γ) διαδικασία ϐελτιστοποίησης. Τα τοπολογικά κενά, επιλύονται με ελέγχους εγγύτητας και τα γεωμετρικά κενά με έναν αλγόριθμο ¨ραφής¨ που ϐασίζεται στην τεχνική Ελαχιστοποίησης Ενέργειας Επιφανειακών Πλακών. ΄Επειτα, στο ¨επισκευασμένο¨ μοντέλο, υπολογίζονται τα ϐέλτιστα μεγέθη τριγωνοποίησης με χρήση δύο αδιάστατων παραμέτρων, οι οποίες ελέγχουν το μέγεθος και τη μέγιστη επιτρεπόμενη μεταβολή μεγέθους. Ο συνδυασμός των δύο παράγει ένα χάρτη μεγέθους πλεγματικών στοιχείων πάνω σεένα δευτερεύον (ϐοηθητικό) πλέγμα που κατασκευάζεται με τη μέθοδο Delaunay.Τέλος, πραγματοποιείται τριγωνοποίηση σε κάθε επιφάνεια ξεχωριστά με χρήση της μεθόδου Προελαύνοντος Μετώπου, προσαρμοσμένης σε παραμετρικές επιφάνειες. Το δεύτερο ϐήμα είναι η δημιουργία ενός σχήματος παραμετροποίησης το οποίο ϑα παράσχει μία στιβαρή μέθοδο μορφοποίησης του μοντέλου. Το ϐήμα αυτό είναιαναγκαίο καθώς τα μοντέλα CAD συνδέονται ισχυρώς με τις πηγαίες παραμετροποιήσεις τους οι οποίες ορίζονται μέσω δέντρων στοιχείων και δεν είναι προσβάσιμα απόεξωτερικά λογισμικά. Διαφορετικά πακέτα CAD χρησιμοποιούν διαφορετικές παραμετροποιήσεις και οι διανομείς τους δεν τις κάνουν γνωστές. Συνεπώς, τα μοντέλαCAD που ϑα υποστούν ϐελτιστοποίηση πρέπει να παραμετροποιηθούν μέσω της επιϕανειακής περιγραφής τους που είναι προσβάσιμη μέσω της BRep και μεταφέρεταιμεταξύ λογισμικών μέσω πρότυπων αρχείων. Οι επιφάνειες που συντελούν ένα CAD μοντέλο είναι κομμένες παραμετρικές επιφάνειες και είναι αυτόνομες ως οντότητεςσε ένα λογισμικό μορφοποίησης. Αυτό τις κάνει ακατάλληλες για εργαλεία μορφοποίησης καθώς, μετατοπίζοντάς τες, ϑα δημιουργούνταν ασυνέχειες γεωμετρίας καιομαλότητας στο μοντέλο. Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα, όλες οι παραμετρικές επιφάνειες μετατρέπονται σε NURBS και επιβάλλονται περιορισμοί συνέχειαςστα σύνορα μεταξύ των επιφανειών. Στη συνέχεια, ορίζεται μία νέα παραμετροποίηση που ικανοποιεί τους ανωτέρω περιορισμούς εκ ϕύσεως, υπολογίζοντας τον μηδενικόχώρο του Ιακωβιανού μητρώου των περιορισμών. Ενας παράγοντας κλειδί για τη ϐασισμένη-σε-CAD ϐελτιστοποίηση είναι η επιβολή γεωμετρικών περιορισμών. Οι περιορισμοί μπορούν με ϕυσικό τρόπο ναορισθούν μέσω των δέντρων στοιχείων. Ωστόσο, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, τα δέντρα στοιχείων δεν είναι προσβάσιμα και δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν ωςμέσο μορφοποίηση των μοντέλων. Οι περιορισμοί πρέπει, συνεπώς, να ορισθούν στις επιφάνειες του CAD μοντέλου. Ανάλογα με τον τύπο του περιορισμού και τηνπολυπλοκότητα των επιφανειών του CAD, ο αριθμός των περιορισμών που πρέπει να επιβληθούν, μπορεί να είναι πολύ μεγάλος. Για αυτόν το λόγο, παρουσιάζεταιμία μέθοδος για τη μείωση του αριθμού των περιορισμών. Με τη μέθοδο αυτή, η παραβίαση του περιορισμού σε κάποιο κόμβο περνά από μία συνάρτηση ποινής ηοποία επιστρέφει ϑετική τιμή σε περίπτωση που υφίσταται παραβίαση και μηδέν σε περίπτωση που όχι. ΄Επειτα, οι συναρτήσεις ποινής αθροίζονται σε κάθε κόμβο τηςπρος σχεδιασμό επιφάνειας. Η αποτελεσματικότητα της επιβολής των περιορισμών κατ΄ αυτόν τον τρόπο ελέγχεται επιβάλλοντας περιορισμούς καμπυλότητας και πεϱιορισμούς εγκλεισμού. Για να καλυφθεί και η επιβολή απλούστερων περιορισμών σε NURBS, δείχνεται και διαφορίζεται ο περιορισμός του όγκου. Το ανεπτυγμένο λογισμικό εφαρμόζεται στο σχεδιασμό / ϐελτιστοποίηση διαϕόρων αντικειμένων όπως επιβατικά αυτοκίνητα, εισαγωγές κινητήρων, πτερύγιασυμπιεστών, αγωγοί ψύξης και εισαγωγής οχημάτων και αγωγοί ψύξης πτερυγίων στροβιλομηχανών.