The continuous adjoint method with consistent discretization schemes for transitional flows and the Use of deep neural networks in shape optimization in fluid mechanics

Abstract

In this PhD Thesis, methods and tools for shape optimization in fluid dynamics are developed, assessed and applied. Emphasis is laid on (a) the mathematical formulation, programming and assessment of the continuous adjoint method for shape optimization in transitional flows of compressible fluids, (b) the development of consistent discretization schemes for the adjoint PDEs and adjoint boundary conditions involved in continuous adjoint and (c) the use of Deep Neural Networks (DNNs) in flow predictions and demonstration of the expected gain in shape optimization. The two first subjects are related to Gradient-Based (GB) optimization, whereas the last one is associated with the more efficient use of Evolutionary Algorithms (EAs).Throughout this Thesis, the in–house GPU–enabled (U)RANS solver PUMA, developed by the Parallel CFD & Optimization Unit of the NTUA, is used. The compressible flow solver of PUMA, previously developed for turbulent flows, is extended to transitional flows. The γ-Reθt transition model is coupled with both the k−ω SST and the Spalart–Allmaras turbulence models. A series of 2D or 3D cases, in internal and external aerodynamics, are used for the purpose of comparison either with experimental or numerical results. These cases include the transitional flow over flat-plates and the flow through a highly loaded transonic turbine blade which is evaluated using aerothermal criteria. Regarding external aerodynamics, an isolated airfoil and two wings, all with Natural Laminar Flow are used. The adjoint method is used to compute the Sensitivity Derivatives (SDs) of any objective function with respect to (w.r.t.) the design variables in the most efficient way, in a GB optimization. Herein, the continuous adjoint method is mathematically developed for the γ−Reθt transition model coupled with the Spalart–Allmaras turbulence model, for the first time in the corresponding literature. The ‘‘frozen transition’’ adjoint (i.e. skipping the adjoint to the transition model equations) is evaluated as a possible cheaper alternative and is shown to noticeably damage the accuracy of SDs. The main advantages of the continuous adjoint method is the clear physical insight into the adjoint PDEs and their boundary conditions and, in particular, the low memory footprint of the adjoint code. The discretization schemes used for the adjoint equations can significantly affect the accuracy of SDs; ideally these should be consistent with the discretized flow (primal) problem. In discrete adjoint, consistency is not an issue; the main weaknesses are the excessive memory footprint of the adjoint code and the lack of a clear interpretation of the adjoint equations. This PhD Thesis bridges the gap between the two adjoint variants by proposing consistent discretization schemes (inspired by discrete adjoint) for the continuous adjoint PDEs and their boundary conditions, with a clear physical meaning. The new Think-Discrete Do-Continuous (TDDC) adjoint is developed for the time-marching hyperbolic-type solver of compressible fluid flows of the PUMA code. The TDDC adjoint computes SDs as accurate as discrete adjoint, ensuring though low memory footprint and physical insight into the adjoint problem. The TDDC adjoint outperforms the continuous adjoint that makes use of the ‘‘standard’’ discretization schemes and the more accurate SDs result in improved optimization behavior. The continuous adjoint method for transitional flows, that also makes use of the developed consistent discretization schemes, is used to carry out two industrial optimizations, that of a wing and that of a high aspect-ratio wing business jet configuration. In its last part, which focuses on cost reduction in shape optimization problems, this PhD Thesis develops and uses DNNs for flow prediction and shape optimization. A first approach is to train DNNs and use them to replace the numerical solution of the turbulence and/or transition model PDEs by providing the turbulent viscosity field in each pseudo–time iteration of the RANS equations’ solver. The optimal DNN configuration (architecture and input data) is found from a Metamodel–Assisted Evolutionary Algorithm (MAEA). The resulting cost–effective solver is used as an evaluation tool during the shape optimization of an isolated airfoil, a turbomachinery cascade and a car model using the MAEA of the EASY (Evolutionary Algorithm SYstem) platform. A second approach is to use DNNs in multi-disciplinary and multi-row turbomachinery shape optimization problems. The use of the two-branch λ−DNN architecture is proposed; its distinguishing feature is the separate processing of input data of different nature. Consequently, the λ−DNN is ideal for use in multidisciplinary problems by replacing one or more disciplines. Herein, it is used in Conjugate Heat Transfer (CHT) shape optimization problems by replacing the numerical solution of the heat conduction equation solver in the solid material. The new, less computationally expensive solver is used as an evaluation tool in two CHT shape optimizations: an S-Shaped cooling channel and an internally cooled turbine blade-airfoil. Finally, for multi-row turbomachinery optimization problems, a DNN surrogate to the mixing plane technique is proposed. Overall, the use of DNN-assisted solvers reduces the cost of optimizations using MAEAs and the EASY platform, in specific.

Η Διδακτορική αυτή Διατριβή πραγματεύεται την ανάπτυξη, πιστοποίηση και εφαρμογή μεθόδων και λογισμικού για προβλήματα βελτιστοποίησης μορφής στη ρευστοδυναμική. Έμφαση δίνεται (α) στη μαθηματική διατύπωση, προγραμματισμό και πιστοποίηση της συνεχούς συζυγούς μεθόδου για βελτιστοποίηση μορφής σε ροές συμπιεστού ρευστού με μετάβαση από στρωτή σε τυρβώδη ροή, (β) την ανάπτυξη συμβατών σχημάτων διακριτοποίησης για τις εξισώσεις και οριακές συνθήκες της συνεχούς συζυγούς μεθόδου και (γ) τη χρήση Βαθέων Νευρωνικών Δικτύων (ΒΝΔ) για προβλέψεις ροής και την αποτίμηση του κέρδους στη βελτιστοποίηση μορφής. Τα δύο πρώτα θέματα σχετίζονται με μεθόδους αιτιοκρατικής βελτιστοποίησης, ενώ το τελευταίο με τη μείωση κόστους στους Εξελικτικούς Αλγορίθμους. Στη Διατριβή, χρησιμοποιείται ο οικείος επιλύτης PUMA των εξισώσεων (U)RANS που εκτελείται σε επεξεργαστές καρτών γραφικών και έχει αναπτυχθεί από τη Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης (ΜΠΥΡ&Β) του ΕΜΠ. Ο επιλύτης συμπιεστών τυρβωδών ροών του PUMA επεκτείνεται για να προσομοιώσει και τη μετάβαση από στρωτή σε τυρβώδη ροή. Εφαρμόζεται το μοντέλο μετάβασης γ−Reθt, συζευγμένο με τα μοντέλα τύρβης k-ω SST και Spalart-Allmaras. Η πιστοποίηση του μοντέλου μετάβασης πραγματοποιείται σε 2Δ και 3Δ εφαρμογές με διαθέσιμα πειραματικά και υπολογιστικά αποτελέσματα. Αυτές περιλαμβάνουν ροές με μετάβαση σε επίπεδες πλάκες αλλά και σε πτερύγωση διηχητικού στροβίλου. Επιπλέον, στην εξωτερική αεροδυναμική, μελετώνται μια μεμονωμένη αεροτομή και δύο πτέρυγες σε συνθήκες φυσικά στρωτής ροής. Στην αιτιοκρατική βελτιστοποίηση μορφής, η συνεχής συζυγής μέθοδος αποτελεί τον πιο αποδοτικό τρόπο υπολογισμού των παραγώγων ευαισθησίας μιας συνάρτησης-στόχου ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού. Εδώ, αναπτύσσεται, για πρώτη φορά στη σχετική βιβλιογραφία, η συνεχής συζυγής μέθοδος για το μοντέλο μετάβασης γ−Reθt συζευγμένου με το μοντέλο τύρβης Spalart-Allmaras. Δείχνεται ότι υπερτερεί της συζυγούς μεθόδου με "παγωμένη μετάβαση'' (χωρίς, δηλαδή, την επίλυση του συζυγούς προβλήματος του μοντέλου μετάβασης) ως προς την ακρίβεια υπολογισμού των παραγώγων ευαισθησίας. Το κύριο πλεονέκτημα της συνεχούς συζυγούς μεθόδου είναι η φυσική εποπτεία των συζυγών ΜΔΕ και των οριακών συνθηκών τους, και, ειδικότερα, οι χαμηλές απαιτήσεις σε μνήμη του σχετικού λογισμικού. Τα σχήματα διακριτοποίησης που χρησιμοποιούνται για τις συζυγείς εξισώσεις, μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά την ακρίβεια υπολογισμού των παραγώγων ευαισθησίας, όσο αυτά δεν είναι συμβατά με το διακριτοποιημένο ροϊκό (πρωτεύον) πρόβλημα. Η διακριτή συζυγής μέθοδος εξασφαλίζει αυτή τη συμβατότητα, αλλά με ενδεχομένως υπέρογκες απαιτήσεις μνήμης, ενώ υστερεί στην ερμηνεία των συζυγών εξισώσεων. Η Διατριβή γεφυρώνει το χάσμα ανάμεσα στις δύο παραλλαγές αναπτύσσοντας συμβατά σχήματα διακριτοποίησης (τα οποία εμπνέονται από τη διακριτή μέθοδο) για τις συνεχείς συζυγείς εξισώσεις και τις οριακές τους συνθήκες, εστιάζοντας ταυτόχρονα στη φυσική τους σημασία. Η νέα συζυγής μέθοδος, επονομαζόμενη Think-Discrete Do-Continuous (TDDC), αναπτύσσεται για τον επιλύτη εξισώσεων υπερβολικού τύπου συμπιεστών ρευστών του PUMA. Σύμφωνα με αυτή, οι παράγωγοι ευαισθησίας υπολογίζονται με τη λογική της συνεχούς αλλά την ακρίβεια της διακριτής μεθόδου με χαμηλές απαιτήσεις μνήμης και με φυσική εποπτεία του συζυγούς προβλήματος. Η TDDC συζυγής μέθοδος υπερτερεί της συζυγούς μεθόδου με τα "κλασικά'' σχήματα διακριτοποίησης και οι ακριβέστερες παράγωγοι οδηγούν σε καλύτερη σύγκλιση της βελτιστοποίησης. Η συνεχής συζυγής μέθοδος για ροές με φαινόμενα μετάβασης από στρωτή σε τυρβώδη, με τα προτεινόμενα TDDC σχήματα διακριτοποίησης, χρησιμοποιείται σε δύο βελτιστοποιήσεις μορφής βιομηχανικού ενδιαφέροντος, μιας μεμονωμένης πτέρυγας και μιας πτέρυγας αεροσκάφους. Στην κατεύθυνση της μείωσης του υπολογιστικού κόστους σε προβλήματα βελτιστοποίησης, στο τελευταίο τμήμα της, η Διατριβή εστιάζει στη χρήση ΒΝΔ για προβλέψεις ροής και χρήση σε βελτιστοποίηση μορφής στην αεροδυναμική. Μια πρώτη χρήση των ΒΝΔ είναι ως υποκατάστατα της επίλυσης των εξισώσεων μοντέλων τύρβης και μετάβασης παρέχοντας το πεδίο της τυρβώδους συνεκτικότητας κατά την επαναληπτική επίλυση των εξισώσεων RANS. Το βέλτιστο ΒΝΔ (αρχιτεκτονική και δεδομένα εισόδου) απορρέει από ένα Εξελικτικό Αλγόριθμο Υποβοηθούμενο από Μεταπρότυπα (Metamodel-Assisted Evolutionary Algorithm, MAEA). Ο νέος υπολογιστικά αποδοτικός επιλύτης χρησιμοποιείται για τη βελτιστοποίηση μορφής μεμονωμένης αεροτομής, πτερυγίου στροβιλομηχανής και μοντέλου αυτοκινήτου με τον MAEA του λογισμικού βελτιστοποίησης EASY.Μια δεύτερη προσέγγιση είναι η χρήση των ΒΝΔ σε πολυπεδιακά προβλήματα και προβλήματα βελτιστοποίησης στροβιλομηχανών που εμπλέκουν αλληλεπίδραση περιστρεφόμενων και σταθερών πτερυγώσεων. Προτείνεται η χρήση της δίκλαδης αρχιτεκτονικής λ-DNN, με χαρακτηριστικό γνώρισμά της τη χωριστή επεξεργασία δεδομένων εισόδου διαφορετικής φύσης. Εδώ, χρησιμοποιείται σε προβλήματα βελτιστοποίησης συζευγμένης μεταφοράς θερμότητας αντικαθιστώντας τον επιλύτη της εξίσωσης αγωγής της θερμότητας για το στερεό υλικό. Ο νέος οικονομικότερος επιλύτης χρησιμοποιείται ως λογισμικό αξιολόγησης για τη βελτιστοποίηση μορφής ενός αγωγού ψύξης και ενός εσωτερικά ψυχόμενου πτερυγίου στροβίλου. Τέλος, προτείνεται ένα υποκατάστατο μοντέλο βασιζόμενο σε ΒΝΔ στο πλαίσιο της τεχνικής επιφάνειας ανάμειξης μεταξύ περιστρεφόμενων και σταθερών πτερυγώσεων για εφαρμογή σε προβλήματα βελτιστοποίησης πτερυγώσεων στροβιλομηχανών. Συνολικά, η χρήση των ΒΝΔ ως υποκατάστατα λογισμικά μειώνει το υπολογιστικό κόστος βελτιστοποιήσεων μορφής με MAEA και της πλατφόρμας EASY, ειδικότερα.