Geometric inequalities and advances in the Ribe program

Abstract

In Chapter 1 we show that not every metric space embeds coarsely into an Alexandrov space of nonpositive curvature, thus answering a question of Gromov (1993). In Chapter 2 we introduce a metric invariant called diamond convexity and show that a Banach space X has diamond convexity q if and only if $X$ admits an equivalent q-uniformly convex norm. We also study the relation of diamond convexity with other metric invariants, such as Markov convexity and metric cotype. In Chapter 3 we use metric invariants introduced in the context of the Ribe program to derive nonembeddability results for subsets of L_p spaces. In Chapter 4 we prove that the dependence on the dimension in Pisier's inequality for superreflexive targets X is $O\big((\log n)^{\alpha(X)}\big)$ for some $\alpha(X)\in[0,1)$, thus providing the first improvement of Pisier's original logarithmic bound (1986) for this class of spaces. In Chapter 5 we undertake a systematic investigation of dimension independent properties of vector valued functions with bounded spectrum defined on the discrete cube. Our approach relies on input from discrete harmonic analysis, complex analysis and classical approximation theory. In Chapter 6 we use the method of Chapter 5 to derive the first dimension independent extension of Freud's inequality (1971). In Chapter 7 we introduce a probabilistic technique relying on mixtures of Gaussian measures to address problems in information theory and convex geometry, for instance proving extensions of the B-inequality and the Gaussian correlation inequality. In Chapter 8 we use a different probabilistic approach to derive the sharp constants in the Khintchine inequality for vectors uniformly distributed on the unit ball of $\ell_p^n$, thus answering a question of Barthe, Guédon, Mendelson and Naor (2005), and solve a variant of the classical moment problem for symmetric log-concave distributions on the real line. In Chapter 9 we identify the extremal block hyperplane sections of spaces of the form $\ell_p^n(X)$, where $p\in(0,2]$ and $X$ is a quasi-Banach space which admits an isometric embedding into $L_p$. In Chapter 10 we show that the $(n,k)$ Bernoulli-Laplace urn model exhibits mixing time cutoff after $\frac{n}{4k}\log n$ steps when $k=o(n)$.

Στο Κεφάλαιο 1 δείχνουμε πως υπάρχουν μετρικοί χώροι που δεν εμφυτεύονται coarsely σε χώρους Alexandrov αρνητικής καμπυλότητας, απαντώντας έτσι μια ερώτηση του Gromov (1993). Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε μια μετρική αναλλοίωτη που λέγεται diamond κυρτότητα και δείχνουμε πως ένας χώρος Banach X έχει diamond κυρτότητα q αν και μόνο αν ο X επιδέχεται μια q-ομοιόμορφα κυρτή νόρμα. Επιπλέον μελετάμε την σχέση της diamond κυρτότητας με άλλες μετρικές αναλλοίωτες, όπως η Markov κυρτότητα και το μετρικό cotype. Στο Κεφάλαιο 3 χρησιμοποιούμε μετρικές αναλλοίωτες που ορίστηκαν στο πλαίσιο του προγράμματος Ribe για να συνάγουμε αποτελέσματα μη-εμφυτευσιμότητας για υποσύνολα χώρων L_p. Στο Κεφάλαιο 4 δείχνουμε πως η εξάρτηση στην διάσταση στην ανισότητα του Pisier για υπερανακλαστικούς χώρους X είναι $O\big((\log n)^{\alpha(X)}\big)$ για κάποιο $\alpha(X)\in[0,1)$, παρουσιάζοντας έτσι την πρώτη βελτίωση της λογαριθμικής εκτίμησης του Pisier (1986) για αυτή την κλάση χώρων. Στο Κεφάλαιο 5 μελετάμε συστηματικά ανισότητες με σταθερές ανεξάρτητες της διάστασης για συναρτήσεις ορισμένες στον διακριτό κύβο με φραγμένο φάσμα. Η τεχνική μας χρησιμοποιεί ιδέες από την διακριτή αρμονική ανάλυση, την μιγαδική ανάλυση και την κλασική θεωρία προσέγγισης. Στο Κεφάλαιο 6 χρησιμοποιούμε την μέθοδο του Κεφαλαίου 5 για να αποδείξουμε την πρώτη επέκταση της ανισότητας του Freud (1971) σε μεγάλες διαστάσεις με σταθερά που δεν εξαρτάται από την διάσταση. Στο Κεφάλαιο 7 εισάγουμε μια πιθανοθεωρητική τεχνική που βασίζεται σε mixtures μέτρων Gauss και την χρησιμοποιούμε σε προβλήματα στην θεωρία πληροφορίας και στην κυρτή γεωμετρία. Για παράδειγμα, αποδεικνύουμε επεκτάσεις της B-ανισότητας και της ανισότητας συσχέτισης για το μέτρο Gauss. Στο Κεφάλαιο 8 χρησιμοποιούμε μια διαφορετική μέθοδο για να βρούμε τις βέλτιστες σταθερές στην ανισότητα Khintchine για διανύσματα ομοιόμορφα κατανεμημένα στην μπάλα του $\ell_p^n$, απαντώντας έτσι μια ερώτηση των Barthe, Guédon, Mendelson και Naor (2005), και λύνουμε μια παραλλαγή του κλασικού προβλήματος ροπών για συμμετρικές λογαριθμικά κοίλες κατανομές στην πραγματική ευθεία. Στο Κεφάλαιο 9 βρίσκουμε τις ακραίες τομές χώρων της μορφής $\ell_p^n(X)$ με block υπερεπίπεδα, όπου $p\in(0,2]$ και ο X είναι ένας quasi-Banach χώρος που εμφυτεύεται ισομετρικά στον $L_p$. Στο Κεφάλαιο 10 δείχνουμε ότι το $(n,k)$ μοντέλο Bernoulli-Laplace παρουσιάζει cutoff στον χρόνο mixing μετά από $\frac{n}{4k}\log n$ βήματα όταν $k=o(n)$.