Ασύμμετρες σύμμορφες θεωρίες πεδίου μέσω ολοκληρώσιμων παραμορφώσεων και D-βράνες

Abstract

In the third and last part we construct the generalized $\l$-models, mentioned in the first paragraph. It is divided into two main chapters. The first chapter is devoted in the analysis of our models at the IR points towards a complete realization of the corresponding CFTs. Using the beta functions of the deformation parameters, we see that our model flow towards $2^{N-2}$ different IR points and the expression of the central charges, derived using the C-function of Zamolodchikov, reveal that the conformal algebra of the corresponding CFTs depend on the order of the WZW levels. A careful analysis of the central charge for the cases $N>2$ lead to the conclusion that its expression is not enough for the univocal determination of the conformal algebras. Thus, turning our attention to the lagrangian formulation, we construct gauge invariantactions which, after fixing the gauge, describe the corresponding IR CFTs. The subgroup gaugedat each case, is a different, anomaly free, subgroup of the global $G_L × G_R$ symmetry of $N$WZW models. This procedure lead to the conclusion that the left and right sector of each of theIR CFTs is based on different products of coset and affine type conformal symmetries. Despitethis asymmetry, the left and right central charge are the same and in agreementwith the central charge read from the exact in the deformation parameters C-function. Furthermore, using the symmetries, we see that there are CFTs defined at different fixedpoints which are related by a transformation, the generalized parity transformation. A geometric representation of the CFT lagrangians in terms of polygons, reformulate the parity transformation as a reflection in terms of a specific perpendicular bisector and leads to an easy classification of the inequivalent IR CFTs. In the second chapter we embed integrable brane configurations in the generalized $\l$-models. To achieve this we generalize the boundary monodromy method applied in the PCM and ordinary $\l$-deformations in order to find boundary conditions that do not have an analog in the single group valued sigma models. Doing so, we find that the richer structure of our generalized theories reflect on the variety of the integrable conditions. Next, we proceed to the geometrical realization of them as $D$-branes. Due to the complexity of the fields present in the boundary equations we apply the sigma model approach, a method based on the modification of the corresponding lagrangians, in order to incorporate the boundary effects, and the variation principle. As a result we find that all the conformal brane geometries known in the literature for a product of WZW models survive the generalized deformations. They consist of the well known $G$-conjugacy classes,twisted $G$-conjugacy classes by a permutation automorphism (permutation branes)and the newest class known as generalized permutation branes. Subsequently, we study the properties of theaforementioned brane geometries, especially of those embedded in the backgroundsinterpolating between the UV and IR fixed points, studied in the previous chapter. Finally, as an example, we considered the lowest dimensional generalized permutation brane embedded in the deformed $SU(2)_{k_1} × SU(2)_{k_2}$ CFT and we extracted its induced fields.

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή και μελέτη μιας μεγάλης κλάσης ολοκληρώσιμων δισδιάστατων θεωριών πεδίου οι οποίες παρουσιάζονται ως γενικεύσεις των γνωστών στην βιβλιογραφία λ-προτύπων. Αυτές αποτελούν πολυπαραμετρικές παραμορφώσεις γινομένου $N$ \en Wess-Zumino-Witten (WZW) \gr προτύπων, ορισμένα με διαφορετικά επίπεδα. Οι τελεστές που απομακρύνουν τις θεωρίες μας από το σύμμορφο σταθερό σημείο συζευγνύουν τα \en Kac-Moody \gr ρεύματα από γειτονικές άλγεβρες και επάγουν μη τετριμμένες ροές της ΟΕ προς υπέρυθρα σταθερά σημεία. Η διατριβή είναι χωρισμένη σε τρία βασικά μέρη εκ των οποίων τα δύο πρώτα είναι βιβλιογραφικά, όπου παρουσιάζουμε έννοιες και τεχνικές απαραίτητες για την κατανόηση του τρίτου μέρους που αποτελεί το ερευνητικό.\noindent Συγκεκριμένα, το πρώτο μέρος παρουσιάζει τις έννοιες της κλειστής και ανοιχτής χορδής και συνδέει την απαίτηση της σύμμορφης/\en Weyl \gr συμμετρίας σε κβαντικό επίπεδο με την γεωμετρία του χώρου υποβάθρου. Στην συνέχεια μελετάμε ολοκληρώσιμες θεωρίες πεδίου δίνοντας έμφαση στα μαθηματικά εργαλεία της ολοκληρωσιμότητας και στο χειραλικό πρότυπο, ορισμένο σε χώρο ομάδας και πηλίκου (συμμετρικός). Πέραν των ολοκληρώσιμων προτύπων, ιδιαίτερα σημαντικές στην παρούσα έρευνα είναι και οι σύμμορφες θεωρίες πεδίου (ΣΘΠ). Παρουσιάζουμε το \en WZW \gr και διαγώνια βαθμωμένο \en WZW \gr πρότυπο, επικεντρώνοντας στον λαγκραντζιανό φορμαλισμό τους, και περιγράφουμε σύντομα τις ΣΘΠ σε ασύμμετρους χώρους πηλίκου. Τέλος, θεωρούμε ανοιχτές χορδές στα προαναφερθέντα πρότυπα και αναπτύσουμε το κατάλληλο θεωρητικό πλαίσιο για να συμπεριλάβουμε την ύπαρξη συνόρου στην κοσμική τους επιφάνεια με τελικό στόχο τον ορισμό σύμμορφων και ολοκληρώσιμων βρανών σε αυτά. \noindent Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε τις λ-παραμορφώσεις σε χώρους ομάδας και χώρους πηλίκου. Αφού θεμελιώσουμε την ολοκληρώσιμη δομή του, και στις δύο περιπτώσεις χώρων, μελετάμε τις ροές της ΟΕ της παραμέτρου παραμόρφωσης υπολογίζοντας την β-συνάρτηση της. Η έκφραση της αποκαλύπτει ότι το πρότυπο παρεμβάλεται μεταξύ του \en WZW \gr προτύπου στο υπεριώδες και του μη αβελιανού Τ-δυϊκού προτύπου προς το υπέρυθρο. Τέλος βρίσκουμε τις ολοκληρώσιμες συνοριακές συνθήκες του προτύπου, οι οποίες αποδεικνύεται ότι διατηρούν την ίδια γεωμετρική εικόνα με τις σύμμορφες, στην περίπτωση του \en WZW\gr.\noindent Στο τρίτο και τελευταίο μέρος επικεντρωνόμαστε στα γενικευμένα λ-πρότυπα που αποτελούν την βάση της έρευνας μας. Αυτά ρέουν προς υπέρυθρες ΣΘΠ τις οποίες και επιθυμούμε να προσδιορίσουμε. Χρησιμοποιώντας την β-συνάρτηση των παραμέτρων παραμόρφωσης και το κεντρικό φορτίο στα υπέρυθρα σημεία, τα οποία υπολογίζουμε μέσω της συνάρτησης του \en Zamolodchikov, \gr βρίσκουμε ότι οι σύμμορφες άλγεβρες συμμετρίας των αντίστοιχων ΣΘΠ είναι ευαίσθητες στην επιλογή της διάταξης των επιπέδων. Παρότι η έκφραση του κεντρικού φορτίου συνδέεται άμεσα με την μορφή των συμμετριών, για τις περιπτώσεις $N>2$ δεν μπορούμε να τις προσδιορίσουμε μονοσήμαντα. Για τον λόγο αυτό επιστρατεύουμε τον λαγκραντζιανό φορμαλισμό των υπέρυθρων ΣΘΠ. Αναβαθμίζοντας σε τοπική, κάθε φορά, μια διαφορετική υποομάδα μετασχηματισμών της $G_L\times G_R$ συμμετρίας κατάλληλα επιλεγμένων $N$ \en WZW \gr προτύπων συμπεραίνουμε ότι οι επιθυμητές ΣΘΠ χαρακτηρίζονται από ασύμμετρους ολομορφικούς και αντιολομορφικούς τομείς. Παρόλη την ασυμμετρία, τα κεντρικά τους φορτία είναι ίσα, με αποτέλεσμα οι θεωρίες να είναι ελεύθερες από ανωμαλίες. Χρησιμοποιώντας τις συμμετρίες τους, παρατηρούμε ότι εξ' αυτών δεν είναι όλες ανεξάρτητες αλλά σχετίζονται μέσω ενός γενικευμένου τελεστή ομοτιμίας. Ορίζοντας την δράση του διαγραμματικά, αντιστοιχίζοντας την λαγκραντζιανή των ΣΘΠ σε πολύγωνα, προσδιορίζουμε με ευκολία το υποσύνολο των ανεξάρτητων ΣΘΠ. Στην συνέχεια μελετάμε $D$-βράνες εμβαπτισμένες στα πρότυπα ενδιαφέροντος με τρόπο που να διατηρούν την ολοκληρωσιμότητα τους. Αυτό επιτυγχάνεται ορίζοντας κατάλληλες συνοριακές συνθήκες μέσω της γενίκευσης της μεθόδου του συνοριακού μονόδρομου πίνακα και χρησιμοποιώντας την προσέγγιση σ-προτύπου δόθηκε η γεωμετρική τους ερμηνεία. Αποδεικνύουμε έτσι, ότι όλες οι γνωστές στην βιβλιογραφία γεωμετρίες βρανών που διατηρούν την σύμμορφη συμμετρία γινομένων \en WZW \gr προτύπων επιβιώνουν στα πρότυπά μας ως ολοκληρώσιμες και διαθέτουν χαρακτηριστικά ανεξάρτητα των παραμέτρων παραμόρφωσης. Τέλος κλείνουμε με την παρουσίαση των συμπερασμάτων και των μελλοντικών ερευνητικών κατευθύνσεων της έρευνας μας.