Modeling multivariate time series

Abstract

The study of time series has become a subject of interest last years especially for count data with heteroskedasticity. While there are numerous research studies with univariate models, in multivariate case the literature is limited. The reason for the above is that there are countless difficulties in the construction and analysis of multivariate counting processes. There are two general categories of time series models with different constructions leading to different ways of their theoretical properties analysis. While considering heteroskedastic time series models from the category ergodic properties can be studied more easier than the second one, methods for estimation are difficult to establish. This thesis deals with the construction of multivariate Integer Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic(INGARCH) and Conditional Autoregressive Range(CARR) time series processes. The INGARCH(1,1) model has been also studied in multivariate case and implementations in 2 dimensions have been also presented recent years. The drawback was found at the restricted values of correlation coefficient boundaries depending on the way of model's construction. Based on a family of copulas a multivariate INGARCH(1,1) model and a CARR(1,1) model are studied considering interdependencies and self-dependencies respectively. According to model's complexity, its appropriateness and capability to study data with small sample sizes are examined and provided with simulations. H-steps ahead forecasting is considered by taking conditional expectation on volatilities and calculating marginal probability mass function. Firstly, considering univariate INGARCH models where volatilities are linearly or log-linearly expressed offering more flexibility on conditions of stationarity respectively, a Bayesian Trans-dimensional Markov Chain Monte Carlo is provided. At a second stage a new alternative family of Sarmanov distribution is also presented in order to ameliorate boundaries of correlation coefficient and comparison with the known Sarmanov families are graphically discussed. A multivariate INGARCH(1,1) process is studied based on this alternative Sarmanov distribution and an implementation with daily crash counts on three towns in Netherlands is presented. A multivariate Conditional Aytoregressive Range(CARR(1,1)) model assuming an exponential distribution and reconstructing correlation coefficients boundaries is discussed. The proposed model is illustrated on bivariate series from the fields of renewable sources.

Η μελέτη των χρονοσειρών αποτελεί αντικείμενο έρευνας τα τελευταία χρόνια ειδικά των διακριτών μοντέλων με ετεροσκεδαστικότητα. Ενώ υπάρχουν πολλές μελέτες στην μονοδιάστατη περίπτωση , στην πολυδιάστατη η βιβλιογραφία είναι περιορισμένη. Ο λόγος για το παραπάνω είναι ότι υπάρχουν αρκετές δυσκολίες στην δομή και την ανάλυση πολυμεταβλητών μοντέλων χρονοσειρών. Συμπεριλαμβάνοντας δύο γενικές κατηγορίες χρονοσειρών τα εμπόδια της πρώτης κατηγορίας σχετικά με την δομή και την ανάλυση, δεν είναι σημαντικές δυσκολίες της δεύτερης και το αντίστροφο. Λαμβάνοντας υπόψην τα παραπάνω ενώ στα ετεροσκεδαστικά μοντέλα η εργοδικότητα είναι εύκολο να μελετηθεί, η εφαρμογή μεθόδων για την εκτίμηση των παραμέτρων είναι δύσκολη. Επιπλέον όταν η σχετική συσχέτιση πρέπει να ληφθεί υπόψιν, η εκτίμηση του μοντέλου γίνεται περισσότερο πολύπλοκη. Στην διατριβή αυτή η δομή ενός πολυμεταβλητού Integer Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic(INGARCH) και ενός πολυμεταβλητού Conditional Autoregressive Range(CARR) μοντέλου χρονοσειρών μελετώνται. Το INGARCH(1,1) μοντέλο και εφαρμογές στις 2 διαστάσεις έχουν ήδη μελετηθεί τα τελευταία χρόνια. Το μειονέκτημα είναι ότι οι τιμές της συσχέτισης είναι περιορισμένες και αυτό προκύπτει απο την δομή του μοντέλου. Βασιζόμενοι σε μια οικογένεια copulas ένα πολυμεταβλητό INGARCH(1,1) και ένα CARR(1,1) μοντέλο μελετώνται θεωρώντας ότι τα volatilities εκφράζονται όχι μόνο με προηγούμενες τιμές τους και προηγούμενες τιμές της μεταβλητής αλλά και απο προηγούμενες τιμές άλλων μεταβλητών και παραμέτρων. Σύμφωνα με την πολυπλοκότητα του μοντέλου η καταλληλότητα και η ικανότητα για μελέτη δεδομένων όπου τα πλήθος τους δεν είναι μεγάλο, εξετάζεται με προσομοιώσεις. Πρόβλεψη h-βημάτων μπροστά σύμφωνα με την δεσμευμένη μέση τιμή στα volatilities γίνεται και οι περιθώριες κατανομές πυκνότητας υπολογίζονται. Αρχικά θεωρώντας μονοδιάστατα ΙNGARCH μοντέλα όπου τα volatilities εκφράζονται γραμμικά ή λογαριθμικά γραμμικά προσφέροντας λιγότερη ή περισσότερη ελαστικότητα στους περιορισμούς των συνθηκών στασιμότητας αντίστοιχα, ένα Μπευζιανό Trans-dimensional Markov Chain Monte Carlo εφαρμόζεται. Έπειτα μια νέα οικογένεια κατανομών Sarmanov παρουσιάζεται με σκοπό να βελτιώσει τις τιμές των ορίων του συντελεστή συσχέτισης. Μια σύγκριση των τιμών του με τις ήδη υπάρχουσες παρουσιάζεται γραφικά. Ένα πολυμεταβλητό INGARCH(1,1) μοντέλο προτείνεται βασισμένο στην καινούρια οικογένεια copulas και μια εφαρμογή με δεδομένα απο τροχαία ατυχήματα σε τρείς πόλεις της Ολλανδίας παρουσιάζεται. Επίσης μελετάται ένα πολυμεταβλητό CARR(1,1) μοντέλο όπου η κατανομή είναι πολυδιάστατη εκθετική και τα όρια του συντελεστή συσχέτισης εξετάζονται. Οι εφαρμογές του προτεινόμενου μοντέλου είναι απο τον τομέα της βιώσιμης ανάπτυξης και των ανανεώσιμων πηγών ενέργειας.