Two weighted Carleson embeddings on multi-trees and multi-disk

Abstract

Given two measures μ,w on a multi-tree T^n we prove a two weighted multi-parameter dyadic embedding theorem for the Hardy operator, assuming w is a product weight and a certain “Box” condition holds. The main result has been long proven for dimension n = 1, however, for higher dimensions the result was not known. There was a general feeling such an embedding was not possible under the Box condition, due to a famous counterexample by Lennart Carleson. In this counterexample, the measure μ was the two-dimensional Lebesgue measure, which is a product measure along with a non-product weight w. Shortly after, A. Chang imposed a (strictly) more general condition than the Box one and showed it is sufficient to get the same embedding in dimension n = 2. This was later used by A. Chang and R. Fefferman to characterize the dyadic n-dimensional product BMO, denoted by BMO_{prod}^d(R^n). Recently, the question of embedding the Dirichlet space on the bi-disk D^2 into L^2(D^2) appeared. This is equivalent to proving a general measure μ is “Carleson” for the Dirichlet space on D^2. It was shown that proving the (discrete) analogue of the embedding on a bi-tree is enough to get the same for the bi-disc. To do this, however, we need to change the restrictions on the measures; we will assume μ to be general and w to be a product weight. Given these restrictions, we managed to prove the surprising result that the Box condition is enough to imply the embedding for dimensions n = 2, 3. This is not contradictory to Carleson’s counterexample as the weight w was non-product.

Λαμβάνοντας υπόψη δύο μέτρα μ,w σε ένα πολύδεντρο T^n, αποδεικνύουμε ένα θεώρημα δύο πολυπαραμέτρων με βάρη διαδικής εμβύθισης για τον τελεστή Hardy, υποθέτοντας ότι w είναι ένα βάρος-γινόμενο και ισχύει μια ορισμένη συνθήκη που την καλούμε "Box". Το κύριο αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί από καιρό για τη διάσταση n = 1, ωστόσο, για μεγαλύτερες διαστάσεις το αποτέλεσμα δεν ήταν γνωστό. Υπήρχε μια γενική αίσθηση ότι μια τέτοια εμβύθιση δεν ήταν δυνατή υπό την συνθήκη Box, λόγω ενός διάσημου αντιπαραδείγματος του Lennart Carleson. Σε αυτό το αντιπαράδειγμα, το μέτρο μ ήταν το δισδιάστατο μέτρο Lebesgue, το οποίο είναι ένα μέτρο γινόμενο μαζί με ένα μη-γινόμενο βάρος w. Λίγο αργότερα, η A. Chang επέβαλε μια (αυστηρά) πιο γενική συνθήκη από την Box και έδειξε ότι είναι επαρκής για να επιτευχθεί η ίδια εμβύθιση στη διάσταση n = 2. Αυτό χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τους A. Chang και R. Fefferman για να χαρακτηρίσουν τον δυαδικό n-διάστατο χώρο γινόμενο-BMO, που συμβολίζεται με BMO_{prod}^d(R^n). Πρόσφατα, εμφανίστηκε το ζήτημα της εμβύθισης του χώρου Dirichlet στον δις-δίσκο D^2 στο L^2(D^2). Αυτό ισοδυναμεί με το να είναι «Carleson» ένα γενικό μέτρο μ, για τον χώρο Dirichlet στο D^2. Οι συγγραφείς έδειξαν ότι η απόδειξη του (διακριτού) αναλόγου της εμβύθισης σε ένα δίδεντρο είναι αρκετή για να ληφθεί το ίδιο για το δίσκο. Για να γίνει αυτό, ωστόσο, πρέπει να αλλάξουμε τους περιορισμούς στα μέτρα. θα υποθέσουμε ότι το μ είναι γενικό και το w ως βάρος-γινόμενο. Δεδομένων αυτών των περιορισμών, καταφέραμε να αποδείξουμε το εκπληκτικό αποτέλεσμα ότι η συνθήκη Box είναι αρκετή για να υποδηλώσει την εμβύθιση για τις διαστάσεις n = 2, 3. Αυτό δεν είναι αντιφατικό με το αντιπαράδειγμα του Carleson, καθώς το βάρος w δεν ήταν γινόμενο.