The method of fundamental solutions for direct and inverse scattering problems of electromagnetic waves in chiral media

Abstract

In the present Ph.D. Dissertation the Method of Fundamental Solutions (MFS) for direct and inverse electromagnetic scattering problems in chiral media is studied. Specifically, we consider the time-harmonic electromagnetic scattering problems by a perfectly conducting body embedded in a chiral environment, an imperfectly conducting body embedded in a chiral environment, a penetrable chiral body embedded in an achiral environment, a penetrable achiral body embedded in a chiral environment and a penetrable chiral body embedded in a chiral environment. We firstly define the surface vector potentials in terms of the dyadic fundamental solution of the differential operator governing the electromagnetic wave propagation in chiral media as well as the boundary integral operators generated by their limiting values. We study the solvability of the aforementioned scattering problems using these vector potentials and the corresponding boundary integral operators as well as the dependence of the solution on the boundary data. Next, we study the mathematical background and application of the MFS to these scattering problems in order to approximate the sought for solutions. The main idea is to approximate the solution of each scattering problem under study with a finite linear combination of the dyadic fundamental solutions of the differential operators that govern the scattering problems in chiral or achiral media for singularities distributed on auxiliary surfaces outside the domain of the solution and for unknown vector coefficients which can be determined via the boundary or the transmission conditions. To this end, we construct appropriate systems of vector valued functions for each problem in terms of the tangential components of the dyadic fundamental solutions, for densely distributed singularities on auxiliary surfaces outside the domain of the sought for solution. Next, we prove the linear independence of these systems on the surface of the scatterer as well as completeness on appropriate Hilbert spaces. Using these results, we prove that the approximation of the solution by the corresponding finite linear combination of the MFS is reduced to the approximation of the corresponding boundary data. The determination of the unknown vector coefficients of the MFS approximation is achieved by imposing the boundary or transmission conditions to a finite set of collocation points on the surface of the scatterer which reduces the approximation problem to the solution of a linear algebraic system. Moreover, approximations of the far-field data for each scattering problem are constructed using the MFS approximation of the solution. Furthermore, numerical results concerning the application of the MFS to the scattering problems under study are presented using a constructed MATLAB code for the special geometrical cases of a sphere, a prolate spheroid and an oblate spheroid. Finally, we study the implementation of the MFS to the solution of a geometric-type inverse electromagnetic scattering problems in chiral media. Having established the uniqueness of its solution, we present the mathematical formulation of the MFS to solve this type of inverse scattering problem and we present some numerical results for the special geometrical case the sphere.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή η Μέθοδος των Θεμελιωδών Λύσεων (MFS) για ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα μελετάται. Συγκεκριμένα θεωρούμε τα προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με χρονική αρμονική εξάρτηση για τις περιπτώσεις ενός τέλεια αγώγιμου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον, ενός μη τέλεια αγώγιμου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον, ενός διαπερατού χειρόμορφου σώματος σε μη χειρόμορφο περιβάλλον, ενός διαπερατού μη χειρόμορφου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον και ενός διαπερατού χειρόμορφου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον. Αρχικά ορίζουμε τα επιφανειακά διανυσματικά δυναμικά ως προς τη δυαδική θεμελιώδη λύση του διαφορικού τελεστή που διέπει τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα καθώς επίσης και τους επιφανειακούς ολοκληρωτικούς τελεστές που συνδέονται με τις οριακές τους τιμές. Μελετάμε την επιλυσιμότητα των προαναφερθέντων προβλημάτων σκέδασης με χρήση των δυναμικών αυτών και των αντίστοιχων επιφανειακών ολοκληρωτικών τελεστών καθώς και την εξάρτηση της λύσης από τα συνοριακά δεδομένα. Στη συνέχεια μελετάμε το μαθηματικό υπόβαθρο και την εφαρμογή της MFS στα υπό μελέτη προβλήματα σκέδασης προκειμένου να προσεγγίσουμε τις ζητούμενες λύσεις. Η κύρια ιδέα είναι να προσεγγίσουμε τη ζητούμενη λήση του εκάστοτε προβλήματος σκέδασης από έναν πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό ως προς τις δυαδικές θεμελιώδεις λύσεις που διέπουν τα πρόβληματα σκέδασης σε χειρόμορφα ή μη χειρόμορφα μέσα για ιδιάζοντα σημεία κατανεμημένα σε βοηθητικές επιφάνειες εκτός του πεδίου ορισμού της λύσης και για άγνωστους διανυσματικούς συντελεστές οι οποίοι θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες ή από τις συνθήκες διαπερατότητας. Για το λόγο αυτό κατασκευάζουμε κατάλληλα συστήματα διανυσματικών συναρτήσεων για το κάθε πρόβλημα ως προς τις εφαπτομενικές συνιστώσες των δυαδικών θεμελιωδών λύσεων για πυκνά κατανεμημένα ιδιάζοντα σημεία σε βοηθητικές επιφάνειες εκτός του πεδίου ορισμού της λύσης. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε γραμμική ανεξαρτησία για τα συστήματα αυτά στην επιφάνεια του σκεδαστή καθώς επίσης και πληρότητα σε κατάλληλους χώρους Hilbert. Με χρήση των αποτελεσμάτων αυτών αποδεικνύουμε ότι η προσέγγιση της λύσης από τον αντίστοιχο πεπερασμένο γραμμικό συνδυσμό της MFS ανάγεται στην προσέγγιση των αντίστοιχων συνοριακών δεδομένων. Ο προσδιορισμός των αγνώστων συντελεστών της MFS προσέγγισης γίνεται επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες ή τις συνθήκες διαπερατότητας σε ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων πάνω στην επιφάνεια του σκεδαστή ανάγοντας το πρόβλημα προσέγγισης στην επίλυση ένος γραμμικού αλγεβρικού συστήματος. Επίσης, κατασκευάζονται προσεγγίσεις των δεδομένων μακρινού πεδίου για κάθε πρόβλημα σκέδασης χρησιμοποιώντας την MFS προσέγγιση της λύσης. Επιπλέον, παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα που αφορούν την εφαρμογή της μεθόδου στα υπό μελέτη προβλήματα σκέδασης, κάνοντας χρήση κώδικα MATLAB που κατασκευάσαμε, για τις ειδικές περιπτώσεις σφαίρας, επιμήκους σφαιροειδούς και πεπλατυσμένου σφαιροειδούς. Τέλος, μελετάμε την εφαρμογή της MFS στην επίλυση ενός γεωμετρικού τύπου αντιστρόφων προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα. Έχοντας εξασφαλίσει τη μοναδικότητα της λύσης παρουσιάζουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση της MFS για την επίλυση αυτού του τύπου αντιστρόφου προβλήματος σκέδασης και παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα για την ειδική περίπτωση σφαιρικού σκεδαστή.