Discrete, continuous and machine learning models with applications in credit risk

Abstract

Credit risk modelling is a versatile and dynamic area of financial mathematics, with important practical implications, as has been historically established. In particular, the last financial crisis made it clear that credit risk models had to become more rigorous. For this reason, the recent International Financial Reporting Standards (IFRS) 9 have introduced a framework making credit risk modelling forward-looking, thereby increasing the need for robust mathematical tools. The goal of this thesis is to develop and explore such mathematical tools and models, motivated by specific open problems that arise due to these regulations, and develop frameworks that are both mathematically-sound and can be efficiently applied by practitioners. We begin with discrete models, specifically Markov chains which are well established in the field of credit risk, and develop a framework that can be implemented by financial institutions for credit rating reporting and compliance purposes under IFRS 9. Subsequently, we consider continuous-time stochastic models and study how these can be used for probability of default estimation and provisioning calculations. Specifically, we use a general family of models to incorporate various latent variables on which the credit exposure may depend, and use approaches relying on Integral and Partial Integro-differential Equations to describe and prove important mathematical properties of the resulting probability of default process. To show how these mathematical tools can be implemented by practitioners, we develop and study numerical methods that can be used for the estimation of default probabilities. We use the well-known Finite Difference methods, which we apply to the equations that arise under various types of stochastic models, to illustrate the variety of uses these approaches can find. Lastly, we draw from recent research to also consider how the modern field of machine learning models, and particularly the family of Deep Neural Networks, can be used to estimate the default probabilities, and discuss important theoretical and practical considerations that should be taken into account when comparing these to the Finite Difference methods.

Η μοντελοποίηση πιστωτικού κινδύνου είναι ένας ευέλικτος και δυναμικός τομέας των χρηματοοικονομικών μαθηματικών, με σημαντικές πρακτικές εφαρμογές, όπως έχει ιστορικά καθιερωθεί. Συγκεκριμένα, η τελευταία χρηματοπιστωτική κρίση κατέστησε σαφές ότι τα μοντέλα πιστωτικού κινδύνου έπρεπε να γίνουν πιο αυστηρά. Για αυτόν τον λόγο, τα πρόσφατα Διεθνή Πρότυπα Χρηματοοικονομικής Αναφοράς (IFRS) 9 εισήγαγαν ένα πλαίσιο που καθιστά τη μοντελοποίηση πιστωτικού κινδύνου προνοητική, αυξάνοντας έτσι την ανάγκη για ισχυρά μαθηματικά εργαλεία. Ο στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να αναπτύξει και να διερευνήσει τέτοια μαθηματικά εργαλεία και μοντέλα, με κίνητρο συγκεκριμένα ανοιχτά προβλήματα που προκύπτουν λόγω αυτών των κανονισμών, και να αναπτύξει πλαίσια που είναι τόσο μαθηματικά ορθά όσο και αποτελεσματικά εφαρμόσιμα από τους επαγγελματίες. Ξεκινάμε με διακριτά μοντέλα, συγκεκριμένα αλυσίδες Markov, οι οποίες είναι καλά εδραιωμένες στον τομέα του πιστωτικού κινδύνου, και αναπτύσσουμε ένα πλαίσιο που μπορεί να εφαρμοστεί από χρηματοοικονομικούς οργανισμούς για σκοπούς αναφοράς πιστωτικής αξιολόγησης και συμμόρφωσης σύμφωνα με το IFRS 9. Στη συνέχεια, εξετάζουμε στοχαστικά μοντέλα συνεχούς χρόνου και μελετούμε πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της πιθανότητας αθέτησης και τον υπολογισμό των προβλέψεων. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε μια γενική οικογένεια μοντέλων για την ενσωμάτωση διάφορων λανθανόντων μεταβλητών από τις οποίες μπορεί να εξαρτάται η πιστωτική έκθεση, και χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις που βασίζονται σε Ολοκληρωτικές και Μερικές Ολοκληρωτικο-διαφορικές Εξισώσεις για να περιγράψουμε και να αποδείξουμε σημαντικές μαθηματικές ιδιότητες της προκύπτουσας διαδικασίας πιθανότητας αθέτησης. Για να δείξουμε πώς μπορούν να εφαρμοστούν αυτά τα μαθηματικά εργαλεία από τους επαγγελματίες, αναπτύσσουμε και μελετούμε αριθμητικές μεθόδους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση των πιθανοτήτων αθέτησης. Χρησιμοποιούμε τις γνωστές μεθόδους Πεπερασμένων Διαφορών, τις οποίες εφαρμόζουμε στις εξισώσεις που προκύπτουν υπό διάφορους τύπους στοχαστικών μοντέλων, για να αναδείξουμε την ποικιλία των χρήσεων που μπορούν να έχουν αυτές οι προσεγγίσεις. Τέλος, αντλώντας από πρόσφατη έρευνα, εξετάζουμε επίσης πώς το σύγχρονο πεδίο των μοντέλων μηχανικής μάθησης, και ιδιαίτερα η οικογένεια των Βαθιών Νευρωνικών Δικτύων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση των πιθανοτήτων αθέτησης, και συζητάμε σημαντικές θεωρητικές και πρακτικές εκτιμήσεις που πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά τη σύγκρισή τους με τις μεθόδους Πεπερασμένων Διαφορών.