Structure preserving schemes and kinetic models for approximating measure valued solutions of hyperbolic equations

Abstract

In this thesis we consider approximate schemes and models for hyperbolic conservation laws. Systemsof conservation laws are fundamental mathematical models and have received a lot of attention from thepoint of view of analysis, modelling and computations. They include the wave equations in elastic mediaand fundamental equations in fluid mechanics. We consider structure preserving schemes and kineticmodels for approximating measure valued solutions of hyperbolic equations. Such solutions are of in-terest given their application to problems in uncertainty quantification and in statistical inference. This thesis contains new results on (i) the design of new schemes for the computation of entropy consistentapproximations, with particular emphasis on the consistency of the computational algorithms to entropicmeasure valued solutions for HCL, (ii) the introduction of discrete and generalised kinetic models de-signed to directly approximate measure valued solutions by using a combination of approximate Youngmeasures and the kinetic formulation of the conservation law and (iii) stability analysis of generalisedviscus kinetic models. We obtain uniqueness within a particular class of vanishing viscosity limits ofthese models and of their corresponding measure valued solutions.

Σε αυτή τη διατριβή εξετάζουμε προσεγγιστικά σχήματα και μοντέλα για υπερβολικούς νόμους διατήρησης. Τα συστήματα νόμων διατήρησης αποτελούν θεμελιώδη μαθηματικά μοντέλα και έχουν προσελκύσει σημαντικό ενδιαφέρον από την πλευρά της ανάλυσης, της μοντελοποίησης και των υπολογισμών. Περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τις εξισώσεις κυμάτων σε ελαστικά μέσα και βασικές εξισώσεις της μηχανικής των ρευστών. Εστιάζουμε σε σχήματα διατήρησης δομής και σε κινητικά μοντέλα για την προσέγγιση λύσεων μέτρου υπερβολικών εξισώσεων. Τέτοιες λύσεις παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω των εφαρμογών τους σε προβλήματα ποσοτικοποίησης αβεβαιότητας και στατιστικής συμπερασματολογίας. Η διατριβή παρουσιάζει νέα αποτελέσματα σε τρεις άξονες. Πρώτον, αναπτύσσουμε νέα αριθμητικά σχήματα για την κατασκευή προσεγγίσεων που ικανοποιούν τις συνθήκες εντροπίας, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στη συνέπεια των υπολογιστικών αλγορίθμων ως προς λύσεις μέτρου που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες για υπερβολικούς νόμους διατήρησης. Δεύτερον, εισάγουμε διακριτά και γενικευμένα κινητικά μοντέλα που προσεγγίζουν άμεσα λύσεις μέτρου, συνδυάζοντας προσεγγιστικά μέτρα Young με την κινητική διατύπωση των νόμων διατήρησης. Τρίτον, πραγματοποιούμε ανάλυση ευστάθειας γενικευμένων κινητικών μοντέλων με ιξώδες και αποδεικνύουμε μοναδικότητα εντός μιας συγκεκριμένης κλάσης ορίων όταν το ιξώδες τείνει στο μηδέν, τόσο για τα ίδια τα μοντέλα όσο και για τις αντίστοιχες λύσεις μέτρου τους.