Contribution à la théorie des EDP non linéaires avec applications à la méthode des surfaces de niveau, aux fluides non newtoniens et à l’équation de Boltzmann

Abstract

This thesis consists of three different and independent chapters, concerning the mathematical study of three distinctive physical problems, which are modelled by three non-linear partial differential equations. These equations concern the level set method, the theory of incompressible flow of non-Newtonian materials and the kinetic theory of rarefied gases. The first chapter of the thesis concerns the dynamics of moving interfaces and contains a rigorous justification of a numerical procedure called re-initialization, for which there are several applications in the context of the level set method. We apply these results for first order level set equations. We write the re-initialization procedure as a splitting algorithm and study the convergence of the algorithm using homogenization techniques in the time variable. As a result of the rigorous analysis, we are also able to introduce a new method for the approximation of the distance function in the context of the level set method. In the case where one only looks for a level set function with gradient bounded from below near the zero level, we propose a simpler approximation. In the general case where the zero level might present changes of topology we introduce a new notion of relaxed limits. In the second chapter of the thesis, we study a free boundary problem arising in the study of the flow of an incompressible non-Newtonian material with Drucker-Prager plasticity on an inclined plane. We derive a subdifferential equation, which we reformulate as a variational problem containing a term with linear growth in the gradient variable, and we study the problem in an unbounded domain. We show that the equations are well posed and satisfy some regularity properties. We are then able to connect the physical parameters with the abstract problem and prove some quantitative properties of the solution. In particular, we show that the solution has compact support and the support is the free boundary. We also construct explicit solutions of an ordinary differential equation, which we use to estimate the free boundary. The last chapter of the thesis is dedicated to the study of infinite energy solutions of the homogeneous Boltzmann equation with Maxwellian molecules. We obtain new results concerning the existence of eternal solutions in the space of probability measure with infinite energy (i.e. the second order moment is infinite). These solutions describe the asymptotic behaviour of other infinite energy solutions but could also be useful in the study of intermediate asymptotic states of solutions with finite but arbitrarily large energy. We use harmonic analysis tools to study the equation, where the velocity variable is expressed in the Fourier space. Finally, a logarithmic scaling of the time variable allows to determine the correct asymptotic scaling of the solutions

Η παρούσα διατριβή αποτελείται από τρία διαφορετικά και ανεξάρτητα κεφάλαια, που αφορούν τη μαθηματική μελέτη τριών διαφορετικών φυσικών προβλημάτων, τα οποία μοντελοποιούνται από τρεις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις αφορούν τη μέθοδο των συνόλων στάθμης, τη θεωρία της ασυμπίεστης ροής μη νευτώνειων υλικών και την κινητική θεωρία των αραιών αερίων. Το πρώτο κεφάλαιο της διατριβής αφορά τη δυναμική των κινούμενων συνόρων και περιέχει μια αιτιολόγηση μιας αριθμητικής διαδικασίας που ονομάζεται re-initialization, για την οποία υπάρχουν αρκετές εφαρμογές στο πλαίσιο της μεθόδου των συνόλων στάθμης. Εφαρμόζουμε αυτά τα αποτελέσματα για εξισώσεις πρώτης τάξης. Γράφουμε τη διαδικασία re-initialization ως ένα αλγόριθμο διαχωρισμού και μελετάμε τη σύγκλιση του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας τεχνικές ομογενοποίησης στη μεταβλητή χρόνου. Ως αποτέλεσμα της ανάλυσης, είμαστε επίσης σε θέση να εισάγουμε μια νέα μέθοδο για την προσέγγιση της συνάρτησης απόστασης στο πλαίσιο της μεθόδου των συνόλων στάθμης. Στην περίπτωση που κάποιος αναζητά μόνο μια συνάρτηση στάθμης με κλίση φραγμένη από κάτω κοντά στη μηδενική στάθμη, προτείνουμε μια απλούστερη προσέγγιση. Στη γενική περίπτωση όπου το σύνολο μηδενικής στάθμης μπορεί να παρουσιάζει αλλαγές τοπολογίας, εισάγουμε μια νέα έννοια ασθενών ορίων. Στο δεύτερο κεφάλαιο της διατριβής, μελετάμε ένα πρόβλημα ελεύθερων συνόρων που προκύπτει από τη μελέτη της ροής ενός ασυμπίεστου μη-νευτώνειου υλικού με πλαστικότητα Drucker-Prager σε κεκλιμένο επίπεδο. Εξάγουμε μια διαφορική ανισότητα, μελετάμε την ενέργεια του προβλήματος η οποία περιέχει έναν όρο με γραμμική αύξηση στη παράγωγο σε ένα μη φραγμένο χώρο. Δείχνουμε ότι το πρόβλημα είναι καλώς τοποθετημένο και αποδεικνύουμε ορισμένες ιδιότητες λειότητας των λύσεων. Στη συνέχεια, μπορούμε να συνδέσουμε τις φυσικές παραμέτρους με το μαθηματικό πρόβλημα και να αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες της λύσης. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι η λύση έχει συμπαγή φορέα και το σύνορο του φορέα είναι το ελεύθερο σύνορο. Κατασκευάζουμε επίσης ακριβείς λύσεις μιας συνήθης διαφορικής εξίσωσης, τις οποίες χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε το ελεύθερο σύνορο. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής είναι αφιερωμένο στη μελέτη λύσεων άπειρης ενέργειας της ομογενούς εξίσωσης Boltzmann. Παρουσιάζουμε νέα αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη λύσεων, με χρόνο στην πραγματική ευθεία, στο χώρο του μέτρου πιθανότητας με άπειρη ενέργεια (δηλαδή η ροπή δεύτερης τάξης είναι άπειρη). Αυτές οι λύσεις περιγράφουν την ασυμπτωτική συμπεριφορά άλλων λύσεων άπειρης ενέργειας αλλά θα μπορούσαν επίσης να είναι χρήσιμες στη μελέτη ενδιάμεσων ασυμπτωτικών καταστάσεων λύσεων με πεπερασμένη αλλά αυθαίρετα μεγάλη ενέργεια. Χρησιμοποιούμε εργαλεία από την αρμονική ανάλυση για να μελετήσουμε την εξίσωση, όπου η μεταβλητή της ταχύτητας εκφράζεται στο χώρο Fourier. Τέλος, μια λογαριθμική αλλαγή κλίμακας της μεταβλητής του χρόνου επιτρέπει τον προσδιορισμό της σωστής ασυμπτωτικής κλίμακας των λύσεων