A wavelet domain numerical method for the prediction of transient dynamic response in composite structures with a focus on wave propagation

Abstract

An efficient numerical method is developed for the simulation of transient dynamic response from one dimensional rod to three dimensional thick laminated composite and sandwich plate structures involving very high frequencies and wave numbers. The proposed method incorporates Daubechies wavelet and scaling functions for the interpolation of the in-plane displacements in the finite domain of the structure, hence is termed as finite wavelet domain method. The developed numerical method further exploits some advantageous mathematical properties provided by wavelet analysis, such as the orthogonality and compact support of wavelet and scaling functions, which lead to diagonal or near diagonal consistent mass matrices and high sparsity stiffness matrices. Hence, an uncoupled equivalent discrete spatial dynamic system is formulated, synthesized and rapidly solved in the wavelet domain using an explicit time integration scheme. The in plane wavelet interpolation is further combined with the development of a high order laminate strip theory and a cubic spline laminate plate theory, resulting in the construction of innovative wavelet based elements for the accurate prediction of symmetric and anti-symmetric wave modes. The aforementioned theories are extended to multiple layer theories for the efficient prediction of high frequency transient phenomena, even in structures with high heterogeneity which are crucial for structural health monitoring purposes. Various guided wave propagation cases are investigated and the presented numerical results are compared with respective results acquired by analytical, semi-analytical, finite element and time spectral element methods. The proposed method yielded higher convergence rates and substantial reductions in computational effort compared to the traditional finite element and to the respective time spectral finite element methods. The computational gains are quantified in terms of the number of nodes required for a converged solution and of the required computational operations. A further improvement on the proposed method, which results from the multiresolution property is also presented. One and two dimensional pioneering multiresolution wavelet based elements are constructed by using Daubechies family wavelet and scaling functions as basis functions. The transient response is predicted by hierarchical explicit time integration schemes, which are composed of different components and are thoroughly described on present dissertation. Homogeneous, inhomogeneous and periodic structures cases are investigated and both further reduced the computational demands and enhanced the localization capabilities, prove the superiority of the multiresolution analysis, with respect to all the previously mentioned numerical methods.

Κύριος στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μιας αριθμητικής μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων κυματιδίων για την προσομοίωση της μεταβατικής δυναμικής απόκρισης σε κατασκευές από σύνθετα υλικά με έμφαση στην κυματική διάδοση. Μία αποτελεσματική αριθμητική μέθοδος, βασιζόμενη στη θεωρία κυματιδίων αναπτύσσεται και περιγράφεται για την προσομοίωση της μεταβατικής δυναμικής απόκρισης. Η μέθοδος αναπτύσσεται για όλο το εύρος των βασικών στοιχείων που χρησιμοποιούνται για ανάλυση κατασκευών και εκτείνεται από απλά μονοδιάστατα στοιχεία ράβδου έως δισδιάστατα ειδικά στοιχεία πλάκας για τον υπολογισμό υψίσυχνων φαινομένων σε διατομές τύπου σάντουιτς. Η προτεινόμενη μέθοδος συνδυάζει τα κυματίδια της οικογένειας Daubechies ως συναρτήσεις βάσης και την προσέγγιση τύπου Galerkin για τον υπολογισμό των μετατοπίσεων στο επίπεδο.Εξετάζεται περαιτέρω η ορθογωνιότητα και το συμπαγές πεδίο ορισμού των wavelet και scaling συναρτήσεων για την παραγωγή διαγώνιων ή σχεδόν διαγώνιων συνεπών μητρώων μάζας και αραιών μητρώων δυσκαμψίας. Ως εκ τούτου, ένα μη συζευγμένο ισοδύναμο διακριτό δυναμικό σύστημα στο χώρο διαμορφώνεται, συντίθεται και επιλύεται γρήγορα στο πεδίο κυματιδίων με τη χρήση της άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης. Η μέθοδος κυματιδίων συνδυάζεται περαιτέρω με την ανάπτυξη θεωριών που εμπεριέχουν υψηλής τάξης όρους και αφορούν στοιχεία δοκού και πλάκας και σαν αποτέλεσμα αναπτύσσονται καινοτόμα στοιχεία κυματιδίων για την ακριβή πρόβλεψη συμμετρικών και αντισυμμετρικών μορφών κύματος. Επιπροσθέτως, οι αναπτυσσόμενες θεωρίες επεκτείνονται σε πολυστρωματικές για την ακριβή πρόβλεψη δυναμικών φαινομένων, ακόμη και σε δομές με υψηλή ετερογένεια οι οποίες είναι κρίσιμες κυρίως για προβλήματα ελέγχου δομικής ακεραιότητας. Εξετάζονται διάφορες περιπτώσεις κυματικής διάδοσης και τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται συγκρίνονται με μοντέλα αναλυτικών, ημι-αναλυτικών, πεπερασμένων στοιχείων και φασματικών στοιχείων στο πεδίο του χρόνου. Η προτεινόμενη μέθοδος φαίνεται να αποδίδει υψηλότερα ποσοστά σύγκλισης άρα και σημαντικές μειώσεις στους απαιτούμενους υπολογιστικούς πόρους, συγκριτικά με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και με τις αντίστοιχες μεθόδους φασματικών στοιχείων στο πεδίο του χρόνου. Τα υπολογιστικά κέρδη ποσοτικοποιούνται με βάση τον αριθμό των κόμβων που απαιτούνται για τον υπολογισμό μιας λύσης που έχει συγκλίνει.Τέλος ερευνάται και παρουσιάζεται μια σημαντική βελτίωση της προτεινόμενης μεθόδου, η οποία προκύπτει από την ιδιότητα πολλαπλών κλιμάκων ανάλυσης. Πρωτοποριακά στοιχεία πολλαπλών κλιμάκων, βασισμένα σε θεωρία κυματιδίων κατασκευάζονται με τη χρήση των κυματιδίων της οικογένειας Daubechies ως συναρτήσεις βάσης. Η μεταβατική απόκριση πλέον υπολογίζεται με ιεραρχικά σχήματα άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης, τα οποία αποτελούνται από στοιχεία γενικής και λεπτομερής προσέγγισης και περιγράφονται διεξοδικά στην παρούσα διατριβή. Αναλύονται περιπτώσεις ομογενών, ανομοιογενών και περιοδικών δομών και επισημαίνεται η περαιτέρω μειωμένη υπολογιστική ισχύ που απαιτείται. Παρουσιάζεται επίσης η ιδιαίτερη συμβολή των στοιχείων λεπτομερής προσέγγισης στον εντοπισμό διεπιφανειών, ατελειών και στη διόρθωση της λύσης ειδικά σε αυτές τις περιοχές, γεγονός που αναδεικνύει την ανωτερότητα των κυματιδιακών στοιχείων πολλαπλών κλιμάκων συγκριτικά με όλες τις προαναφερθείσες αριθμητικές μεθόδους.